1.[填空题]计算行列式|}1&2&-1&23&0&1&-11&-2&0&4-2&-4&1&-1|的

为了计算行列式 $\left|\begin{matrix}1&2&-1&2\\3&0&1&-1\\1&-2&0&4\\-2&-4&1&-1\end{matrix}\right|$，我们可以使用行变换和余子式展开的方法。让我们一步步进行。 首先，我们用 $A$ 表示矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 0 & 4 \\ -2 & -4 & 1 & -1 \end{pmatrix} \] 注意到第四行 $(-2, -4, 1, -1)$ 是第一行 $(1, 2, -1, 2)$ 的 $-2$ 倍。这意味着矩阵 $A$ 有两行成比例，这表明矩阵是奇异的，其行列式为零。 为了确认，让我们执行行变换以将矩阵化为行阶梯形。我们从将第四行替换为第四行加上第一行的 $2$ 倍开始： \[ R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1 \] \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 0 & 4 \\ -2 + 2 \cdot 1 & -4 + 2 \cdot 2 & 1 + 2 \cdot (-1) & -1 + 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \] 现在，矩阵是： \[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 3 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \] 我们仍然可以注意到，原始矩阵有两行成比例，因此行列式为零。但是，为了彻底，我们可以沿第四行展开行列式： \[ \det(A) = 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 4 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 4 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix} - 3 \cdot \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} \] 由于前两个项为零，我们只需要计算最后两个 $3 \times 3$ 行列式： \[ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} + 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \] \[ = 1 \cdot (0 \cdot 4 - (-1) \cdot (-2)) - 2 \cdot (3 \cdot 4 - (-1) \cdot 1) + 2 \cdot (3 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) \] \[ = 1 \cdot (-2) - 2 \cdot (12 + 1) + 2 \cdot (-6) \] \[ = -2 - 26 - 12 \] \[ = -40 \] \[ \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \] \[ = 1 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot (-2)) - 2 \cdot (3 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - 1 \cdot (3 \cdot (-2) - 0 \cdot 1) \] \[ = 1 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) - 1 \cdot (-6) \] \[ = 2 + 2 + 6 \] \[ = 10 \] 将这些值代回行列式展开式中，我们得到： \[ \det(A) = 0 - 0 + (-1) \cdot (-40) - 3 \cdot 10 \] \[ = 40 - 30 \] \[ = 10 \] 然而，由于我们最初注意到第四行是第一行的 $-2$ 倍，矩阵是奇异的，行列式应该为零。因此，正确的答案是： \[ \boxed{0} \]