题目
四、假设甲乙两种投资策略的每万元日收益分别服从N(1,2),N(0.5,1)，各观察30天的日收益，样本方差分别为2.25,1.12，求P(S_(甲)^2/S_(乙)^2>2).（提示：F_(0.5)(29,29)=1）
四、假设甲乙两种投资策略的每万元日收益分别服从N(1,2),N(0.5,1)，各观察30天的日收益，样本方差分别为2.25,1.12，求P(S$_{甲}^2/S_{乙}^2>2$).（提示：$F_{0.5}(29,29)=1$）
题目解答
答案
已知甲乙两种投资策略的每万元日收益分别服从正态分布 $ N(1, 2) $ 和 $ N(0.5, 1) $，即总体方差分别为 $ \sigma_1^2 = 2 $ 和 $ \sigma_2^2 = 1 $。样本量均为 30，自由度为 29。
构造 F 统计量：
\[
\frac{S_{\text{甲}}^2 / \sigma_1^2}{S_{\text{乙}}^2 / \sigma_2^2} = \frac{S_{\text{甲}}^2 / 2}{S_{\text{乙}}^2} \sim F(29, 29)
\]
即
\[
\frac{S_{\text{甲}}^2}{2S_{\text{乙}}^2} \sim F(29, 29)
\]
由题意，
\[
P\left( \frac{S_{\text{甲}}^2}{S_{\text{乙}}^2} > 2 \right) = P\left( \frac{S_{\text{甲}}^2}{2S_{\text{乙}}^2} > 1 \right)
\]
已知 $ F_{0.5}(29, 29) = 1 $，即 F 分布的中位数为 1，
\[
P\left( F(29, 29) > 1 \right) = 0.5
\]
因此，所求概率为
\[
\boxed{0.5}
\]
解析
步骤 1：确定总体方差
甲乙两种投资策略的每万元日收益分别服从正态分布 $ N(1, 2) $ 和 $ N(0.5, 1) $，即总体方差分别为 $ \sigma_1^2 = 2 $ 和 $ \sigma_2^2 = 1 $。
步骤 2：构造 F 统计量
构造 F 统计量： \[ \frac{S_{\text{甲}}^2 / \sigma_1^2}{S_{\text{乙}}^2 / \sigma_2^2} = \frac{S_{\text{甲}}^2 / 2}{S_{\text{乙}}^2} \sim F(29, 29) \] 即 \[ \frac{S_{\text{甲}}^2}{2S_{\text{乙}}^2} \sim F(29, 29) \]
步骤 3：计算概率
由题意， \[ P\left( \frac{S_{\text{甲}}^2}{S_{\text{乙}}^2} > 2 \right) = P\left( \frac{S_{\text{甲}}^2}{2S_{\text{乙}}^2} > 1 \right) \] 已知 $ F_{0.5}(29, 29) = 1 $，即 F 分布的中位数为 1， \[ P\left( F(29, 29) > 1 \right) = 0.5 \]
甲乙两种投资策略的每万元日收益分别服从正态分布 $ N(1, 2) $ 和 $ N(0.5, 1) $，即总体方差分别为 $ \sigma_1^2 = 2 $ 和 $ \sigma_2^2 = 1 $。
步骤 2：构造 F 统计量
构造 F 统计量： \[ \frac{S_{\text{甲}}^2 / \sigma_1^2}{S_{\text{乙}}^2 / \sigma_2^2} = \frac{S_{\text{甲}}^2 / 2}{S_{\text{乙}}^2} \sim F(29, 29) \] 即 \[ \frac{S_{\text{甲}}^2}{2S_{\text{乙}}^2} \sim F(29, 29) \]
步骤 3：计算概率
由题意， \[ P\left( \frac{S_{\text{甲}}^2}{S_{\text{乙}}^2} > 2 \right) = P\left( \frac{S_{\text{甲}}^2}{2S_{\text{乙}}^2} > 1 \right) \] 已知 $ F_{0.5}(29, 29) = 1 $，即 F 分布的中位数为 1， \[ P\left( F(29, 29) > 1 \right) = 0.5 \]