题目
某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为 0.7.假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位，问电厂最少要供应这个车间多少单位电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产.
某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为 0.7.假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位，问电厂最少要供应这个车间多少单位电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产.
题目解答
答案
解：记200部机床中开动的机床部数为X，则X~b(200,0.7).
由中心极限定理，有
P{X≤k}≈Φ
≥0.95,
查表得：
=1.65,
解得 k≈151
因为电厂最少要供应的电能是k 
15，所以所需电量为 151×15=2265个单位。
故本题答案为电厂最少要供应这个车间2265个单位电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产。
解析
步骤 1：定义随机变量
设X为200部机床中开动的机床部数，X服从二项分布，即X~b(200,0.7)。
步骤 2：应用中心极限定理
由于n=200较大，根据中心极限定理，X的分布可以用正态分布近似，即X~N(μ,σ^2)，其中μ=np=200×0.7=140，σ^2=np(1-p)=200×0.7×0.3=42，σ=√42。
步骤 3：计算概率
要保证以95%的概率不致因供电不足而影响生产，即P{X≤k}≥0.95，其中k为开动的机床部数。根据正态分布的性质，有P{X≤k}≈Φ$(\dfrac {k-140}{\sqrt {42}})$≥0.95，查标准正态分布表得Φ(1.65)≈0.95，因此有$\dfrac {k-140}{\sqrt {42}}$≥1.65，解得k≥151。
步骤 4：计算所需电能
每部机床开动时消耗电能15个单位，因此所需电能为151×15=2265个单位。
设X为200部机床中开动的机床部数，X服从二项分布，即X~b(200,0.7)。
步骤 2：应用中心极限定理
由于n=200较大，根据中心极限定理，X的分布可以用正态分布近似，即X~N(μ,σ^2)，其中μ=np=200×0.7=140，σ^2=np(1-p)=200×0.7×0.3=42，σ=√42。
步骤 3：计算概率
要保证以95%的概率不致因供电不足而影响生产，即P{X≤k}≥0.95，其中k为开动的机床部数。根据正态分布的性质，有P{X≤k}≈Φ$(\dfrac {k-140}{\sqrt {42}})$≥0.95，查标准正态分布表得Φ(1.65)≈0.95，因此有$\dfrac {k-140}{\sqrt {42}}$≥1.65，解得k≥151。
步骤 4：计算所需电能
每部机床开动时消耗电能15个单位，因此所需电能为151×15=2265个单位。