题目
某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准质量 ( 单位 s ) 为 500. 设罐重是服从正态分布的随机变量 ，根据多年的观测结果，其标准差=10 .每隔一段时间要检测装罐机工作是否正常.现从中抽取 10 罐，测得平均质量 507 ，问这段时间装罐机工作是否正常 ? (=10 )
某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准质量 ( 单位 s ) 为 500. 设罐重是服从正态分布的随机变量 ，根据多年的观测结果，其标准差
.每隔一段时间要检测装罐机工作是否正常.现从中抽取 10 罐，测得平均质量 507 ，问这段时间装罐机工作是否正常 ? (
)
题目解答
答案
由题干知，每罐的标准质量 ( 单位 s ) 为 500，罐重是服从正态分布的随机变量，且标准差，因此做假设检验：
枢轴量
在
显著性水平下，
的拒绝域为
因为
，所以拒绝
即这段时间装罐机工作不正常
解析
步骤 1：设定假设检验
根据题干信息，我们设定原假设和备择假设如下：
${H}_{0}:\mu =500$，即装罐机工作正常，罐头食品的平均质量为500。
${H}_{1}:\mu \neq 500$，即装罐机工作不正常，罐头食品的平均质量不为500。
步骤 2：计算枢轴量
根据题干信息，罐重服从正态分布，标准差$\sigma =10$，样本容量$n=10$，样本均值$\overline {x}=507$。因此，枢轴量$Z$计算如下：
$Z=\dfrac {\overline {x}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}=\dfrac {507-500}{\dfrac {10}{\sqrt {10}}}\approx 2.214$
步骤 3：确定拒绝域并进行判断
在显著性水平$\alpha =0.05$下，原假设${H}_{0}$的拒绝域为$|Z|\gt {Z}_{\alpha /2}$，其中${Z}_{\alpha /2}$是标准正态分布的上$\alpha /2$分位数。对于$\alpha =0.05$，${Z}_{\alpha /2}=1.96$。
因为$2.214\gt 1.96$，所以拒绝原假设${H}_{0}$。
根据题干信息，我们设定原假设和备择假设如下：
${H}_{0}:\mu =500$，即装罐机工作正常，罐头食品的平均质量为500。
${H}_{1}:\mu \neq 500$，即装罐机工作不正常，罐头食品的平均质量不为500。
步骤 2：计算枢轴量
根据题干信息，罐重服从正态分布，标准差$\sigma =10$，样本容量$n=10$，样本均值$\overline {x}=507$。因此，枢轴量$Z$计算如下：
$Z=\dfrac {\overline {x}-\mu }{\dfrac {\sigma }{\sqrt {n}}}=\dfrac {507-500}{\dfrac {10}{\sqrt {10}}}\approx 2.214$
步骤 3：确定拒绝域并进行判断
在显著性水平$\alpha =0.05$下，原假设${H}_{0}$的拒绝域为$|Z|\gt {Z}_{\alpha /2}$，其中${Z}_{\alpha /2}$是标准正态分布的上$\alpha /2$分位数。对于$\alpha =0.05$，${Z}_{\alpha /2}=1.96$。
因为$2.214\gt 1.96$，所以拒绝原假设${H}_{0}$。