下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(1) y=cos(x-2)；(2) y=cos 4x；(3) y=1+sin pi x；(4) y=xcos x；(5) y=sin^2 x.

我们来逐个分析这些函数是否是**周期函数**，并找出它们的**周期**（如果存在的话）。 --- ### (1) $ y = \cos(x - 2) $ **分析：** 这是一个**余弦函数**的平移形式，即 $ \cos(x - 2) $。 - 余弦函数 $ \cos x $ 是周期函数，周期为 $ 2\pi $。 - 函数 $ \cos(x - 2) $ 是将 $ \cos x $ 向右平移 2 个单位，**平移不改变周期性**。 **结论：** - 是周期函数。 - 周期为 $ 2\pi $。 --- ### (2) $ y = \cos 4x $ **分析：** - 原函数 $ \cos x $ 的周期是 $ 2\pi $。 - 当自变量被乘以 4，即 $ \cos 4x $，周期变为原来的 $ \frac{1}{4} $。 $$ \text{周期} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $$ **结论：** - 是周期函数。 - 周期为 $ \frac{\pi}{2} $。 --- ### (3) $ y = 1 + \sin \pi x $ **分析：** - $ \sin \pi x $ 是正弦函数，周期为 $ \frac{2\pi}{\pi} = 2 $。 - 加上常数 1 不改变周期性。 **结论：** - 是周期函数。 - 周期为 $ 2 $。 --- ### (4) $ y = x \cos x $ **分析：** - $ \cos x $ 是周期函数，但乘以 $ x $ 后，函数变为 $ x \cos x $。 - $ x \cos x $ **不是周期函数**，因为随着 $ x $ 增大，函数值不断变化，没有重复模式。 **结论：** - **不是周期函数。** --- ### (5) $ y = \sin^2 x $ **分析：** - $ \sin^2 x $ 是 $ \sin x $ 的平方。 - $ \sin x $ 的周期是 $ 2\pi $，但平方后周期会**缩短为 $ \pi $**，因为： $$ \sin^2(x + \pi) = (\sin(x + \pi))^2 = (-\sin x)^2 = \sin^2 x $$ **结论：** - 是周期函数。 - 周期为 $ \pi $。 --- ### ✅ 总结： | 编号 | 函数表达式 | 是否周期函数 | 周期 | |------|------------------|---------------|-----------| | (1) | $ \cos(x - 2) $ | 是 | $ 2\pi $ | | (2) | $ \cos 4x $ | 是 | $ \frac{\pi}{2} $ | | (3) | $ 1 + \sin \pi x $ | 是 | $ 2 $ | | (4) | $ x \cos x $ | 否 | 无 | | (5) | $ \sin^2 x $ | 是 | $ \pi $ | --- **最终答案：** 周期函数是：(1)、(2)、(3)、(5)。 周期分别为： - (1)：$ \boxed{2\pi} $ - (2)：$ \boxed{\frac{\pi}{2}} $ - (3)：$ \boxed{2} $ - (5)：$ \boxed{\pi} $ (4) 不是周期函数。