题目
[题目]-|||-从应届高中毕业生中随机抽取了9人,其体重分别为(单位:kg)-|||-65,78,52,63,84,79,77,54,60.-|||-设体重x服从正态分布N(μ,49),求平均体重μ的双侧0.95的置信区间.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算样本均值
首先，计算样本均值 $\overline{x}$，即所有样本值的平均值。
$$
\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{65 + 78 + 52 + 63 + 84 + 79 + 77 + 54 + 6}{9} = \frac{654}{9} = 72.67
$$
步骤 2：确定置信区间的公式
由于已知总体方差 $\sigma^2 = 49$，因此可以使用正态分布的置信区间公式来计算平均体重 $\mu$ 的双侧0.95置信区间。
$$
\left[\overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{1-\frac{\alpha}{2}}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right]
$$
其中，$u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的分位数，对于双侧0.95置信区间，$\alpha = 0.05$，$u_{1-\frac{\alpha}{2}} = u_{0.975} = 1.96$。
步骤 3：计算置信区间
代入已知数据计算置信区间。
$$
\left[72.67 - \frac{7}{\sqrt{9}} \times 1.96, 72.67 + \frac{7}{\sqrt{9}} \times 1.96\right] = \left[72.67 - 4.57, 72.67 + 4.57\right] = \left[68.10, 77.24\right]
$$
首先，计算样本均值 $\overline{x}$，即所有样本值的平均值。
$$
\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{65 + 78 + 52 + 63 + 84 + 79 + 77 + 54 + 6}{9} = \frac{654}{9} = 72.67
$$
步骤 2：确定置信区间的公式
由于已知总体方差 $\sigma^2 = 49$，因此可以使用正态分布的置信区间公式来计算平均体重 $\mu$ 的双侧0.95置信区间。
$$
\left[\overline{x} - \frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{1-\frac{\alpha}{2}}, \overline{x} + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}u_{1-\frac{\alpha}{2}}\right]
$$
其中，$u_{1-\frac{\alpha}{2}}$ 是标准正态分布的分位数，对于双侧0.95置信区间，$\alpha = 0.05$，$u_{1-\frac{\alpha}{2}} = u_{0.975} = 1.96$。
步骤 3：计算置信区间
代入已知数据计算置信区间。
$$
\left[72.67 - \frac{7}{\sqrt{9}} \times 1.96, 72.67 + \frac{7}{\sqrt{9}} \times 1.96\right] = \left[72.67 - 4.57, 72.67 + 4.57\right] = \left[68.10, 77.24\right]
$$