6 三大计算·极限·第一天练习题 第6题 10分 极限的计算 函数求极限(02-3)设常数aneq(1)/(2)，则lim_(ntoinfty)ln[(n-2na+1)/(n(1-2a))]^n=(A)(1)/(1-2a)(B)e^(1)/(1-2a)(C)e^(1)/(1-a)(D)(1)/(1-a)
题目解答
答案
这是一道关于极限计算的题目。我们需要计算：
$\lim_{n \to \infty} \ln \left[ \frac{n - 2na + 1}{n(1 - 2a)} \right]^n$
推导过程：
首先，利用对数的性质 $\ln(x^n) = n \ln(x)$，将原极限式改写为：
$\lim_{n \to \infty} n \ln \left[ \frac{n - 2na + 1}{n(1 - 2a)} \right]$
接下来，化简对数符号内的分式。将分子提取公因式并整理：
$\frac{n - 2na + 1}{n(1 - 2a)} = \frac{n(1 - 2a) + 1}{n(1 - 2a)}$
将其拆分为两部分：
$\frac{n(1 - 2a)}{n(1 - 2a)} + \frac{1}{n(1 - 2a)} = 1 + \frac{1}{n(1 - 2a)}$
将化简后的结果代回原极限式中：
$\lim_{n \to \infty} n \ln \left[ 1 + \frac{1}{n(1 - 2a)} \right]$
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n(1 - 2a)} \to 0$（因为题目已知常数 $a \neq \frac{1}{2}$，所以 $1 - 2a \neq 0$）。
根据等价无穷小替换原理，当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x) \sim x$。
在这里，令 $x = \frac{1}{n(1 - 2a)}$，则有：
$\ln \left[ 1 + \frac{1}{n(1 - 2a)} \right] \sim \frac{1}{n(1 - 2a)}$
将此等价无穷小代入极限计算中：
$\lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{1}{n(1 - 2a)}$
约去分子和分母中的 $n$：
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - 2a} = \frac{1}{1 - 2a}$
答案：
根据推导结果，极限值为 $\frac{1}{1 - 2a}$，对应选项 (A)。
解析
本题考查知识点为极限的计算，主要运用了对数的性质、等价无穷小替换等方法来求解极限。
解题思路如下：
- 首先，根据对数的性质$\ln(x^n)=n\ln(x)$，对原式进行变形，将原极限$\lim_{n\to\infty}\ln\left[\frac{n - 2na + 1}{n(1 - 2a)}\right]^{n}$转化为$\lim_{n\to\infty}n\ln\left[\frac{n - 2na + 1}{n(1 - 2a)}\right]$。
- 然后，对对数符号内的分式$\frac{n - 2na + 1}{n(1 - 2a)}$进行化简：
- 先将分子提取公因式$n$，得到$\frac{n(1 - 2a)+1}{n(1 - 2a)}$。
- 再将其拆分为两部分$\frac{n(1 - 2a)}{n(1 - 2a)}+\frac{1}{n(1 - 2a)}$，化简后为$1+\frac{1}{n(1 - 2a)}$。
- 把化简后的结果代回极限式，得到$\lim_{n\to\infty}n\ln\left[1+\frac{1}{n(1 - 2a)}\right]$。
- 当$n\to\infty$时，因为$a\neq\frac{1}{2}$，所以$1 - 2a\neq0$，此时$\frac{1}{n(1 - 2a)}\to0$。
- 根据等价无穷小替换原理，当$x\to0$时，$\ln(1 + x)\sim x$，令$x = \frac{1}{n(1 - 2a)}$，则$\ln\left[1+\frac{1}{n(1 - 2a)}\right]\sim\frac{1}{n(1 - 2a)}$。
- 将等价无穷小代入极限计算中，得到$\lim_{n\to\infty}n\cdot\frac{1}{n(1 - 2a)}$。
- 最后，约去分子和分母中的$n$，计算极限$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1 - 2a}=\frac{1}{1 - 2a}$。