题目

3.某车间经检测每升空气中平均约有35颗粉尘，请估计该车间每升空气中有大于50颗粉尘的概率.

题目解答

答案

为了估计该车间每升空气中有大于50颗粉尘的概率，我们可以使用泊松分布。泊松分布适用于描述在给定区间内发生随机事件的次数，其中事件发生的平均速率是已知的。在这个问题中，每升空气中粉尘的平均数量是 $\lambda = 35$。泊松分布的概率质量函数由下式给出： \[ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \] 我们想要找到每升空气中粉尘数量大于50的概率，即 $ P(X > 50) $。这可以表示为： \[ P(X > 50) = 1 - P(X \leq 50) \] 计算 $ P(X \leq 50) $ 直接计算可能很复杂，因此我们可以使用泊松分布的正态近似。当 $\lambda$ 较大时，泊松分布可以近似为均值为 $\mu = \lambda = 35$ 和方差为 $\sigma^2 = \lambda = 35$ 的正态分布。因此，标准差 $\sigma$ 为： \[ \sigma = \sqrt{35} \approx 5.92 \] 为了使用正态近似，我们对泊松随机变量进行连续性校正。我们不是找到 $ P(X \leq 50) $，而是找到 $ P(X < 50.5) $。将这个值转换为标准正态变量 $ Z $，我们得到： \[ Z = \frac{50.5 - 35}{5.92} \approx 2.62 \] 现在，我们需要找到标准正态变量 $ Z $ 小于 2.62 的概率。使用标准正态分布表或计算器，我们发现： \[ P(Z < 2.62) \approx 0.9956 \] 因此，$ P(X \leq 50) \approx 0.9956 $。因此，每升空气中粉尘数量大于50的概率为： \[ P(X > 50) = 1 - 0.9956 = 0.0044 \] 所以，该车间每升空气中有大于50颗粉尘的概率大约为： \[ \boxed{0.0044} \]

解析

本题考查泊松分布及其正态近似的知识。解题思路如下：

首先判断该问题符合泊松分布的应用场景，因为每升空气中粉尘的出现是随机事件，且已知平均数量，所以可以用泊松分布来描述每升空气中粉尘的数量。泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $\lambda$ 是事件发生的平均速率，本题中 $\lambda = 35$。
我们要求的是每升空气中粉尘数量大于 50 的概率 $P(X > 50)$，根据概率的性质，$P(X > 50)=1 - P(X \leq 50)$。
由于直接计算 $P(X \leq 50)$ 比较复杂，当 $\lambda$ 较大时（本题 $\lambda = 35$ 相对较大），可以使用泊松分布的正态近似。此时正态分布的均值 $\mu=\lambda = 35$，方差 $\sigma^2=\lambda = 35$。
计算标准差 $\sigma$：
- 根据标准差与方差的关系 $\sigma=\sqrt{\sigma^2}$，已知 $\sigma^2 = 35$，则 $\sigma=\sqrt{35}\approx5.92$。
为了使用正态近似，进行连续性校正，将 $P(X \leq 50)$ 转化为 $P(X < 50.5)$。
将 $X = 50.5$ 转换为标准正态变量 $Z$，根据公式 $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$，这里 $X = 50.5$，$\mu = 35$，$\sigma\approx5.92$，则：
- $Z=\frac{50.5 - 35}{5.92}=\frac{15.5}{5.92}\approx2.62$。
现在需要求标准正态变量 $Z$ 小于 2.62 的概率 $P(Z < 2.62)$，通过查标准正态分布表或使用计算器可得 $P(Z < 2.62)\approx0.9956$，即 $P(X \leq 50)\approx0.9956$。
最后计算 $P(X > 50)$：
- 因为 $P(X > 50)=1 - P(X \leq 50)$，把 $P(X \leq 50)\approx0.9956$ 代入可得 $P(X > 50)=1 - 0.9956 = 0.0044$。