题目

5.填空题设某系统由两个组件构成，组件A寿命为X(年)，组件B寿命为Y(年)。联合分布函数为：F(x,y)=}(1-e^-lambda x)(1-e^-mu y ),x>0,y>00,其他其中lambda=0.2，mu=0.3。则组件A的寿命X的边缘分布函数F_(x)(x)=__(需写出具体表达式)。

5.填空题 设某系统由两个组件构成，组件A寿命为X(年)，组件B寿命为Y(年)。联合分布函数为： $F(x,y)=\begin{cases}(1-e^{-\lambda x})(1-e^{-\mu y} ),x>0,y>0\\0,其他\end{cases}$ 其中$\lambda=0.2$，$\mu=0.3$。则组件A的寿命X的边缘分布函数$F_{x}(x)=\_\_$(需写出具体表达式)。

题目解答

答案

根据题目给出的联合分布函数 $ F(x, y) = \begin{cases} (1 - e^{-\lambda x})(1 - e^{-\mu y}), & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $，其中 $\lambda = 0.2$，$\mu = 0.3$，求组件A的寿命 $X$ 的边缘分布函数 $F_X(x)$。

边缘分布函数 $F_X(x)$ 可通过令 $y \to +\infty$ 得到：

  1. 当 $x \leq 0$ 时，$F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} F(x, y) = 0$。
  2. 当 $x > 0$ 时，$F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} F(x, y) = (1 - e^{-\lambda x})(1 - e^{-\mu \cdot +\infty}) = 1 - e^{-\lambda x}$。

将 $\lambda = 0.2$ 代入，得：
$F_X(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ 1 - e^{-0.2x}, & x > 0 \end{cases}$

答案：
$\boxed{\begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ 1 - e^{-0.2x}, & x > 0 \end{cases}}$

解析

考查要点：本题主要考查联合分布函数求边缘分布函数的方法，需要理解边缘分布函数的定义及计算步骤。

解题核心思路：
边缘分布函数$F_X(x)$的计算方法是固定$x$，令$y \to +\infty$，即通过联合分布函数$F(x,y)$在$y$方向取极限得到。
关键点在于：

  1. 当$x \leq 0$时，联合分布函数本身为$0$，因此边缘分布函数也为$0$。
  2. 当$x > 0$时，需计算$\lim_{y \to +\infty} F(x,y)$，此时$(1 - e^{-\mu y})$趋向于$1$，从而简化表达式。

步骤1：分析联合分布函数形式
题目中联合分布函数为：
$F(x,y) = \begin{cases} (1 - e^{-\lambda x})(1 - e^{-\mu y}), & x > 0, y > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
该形式为两个独立随机变量的乘积，说明$X$和$Y$独立。

步骤2：计算边缘分布函数$F_X(x)$
根据定义，$F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} F(x,y)$：

  • 当$x \leq 0$时：
    联合分布函数$F(x,y) = 0$，因此$F_X(x) = 0$。
  • 当$x > 0$时：
    $F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} (1 - e^{-\lambda x})(1 - e^{-\mu y}) = (1 - e^{-\lambda x}) \cdot 1 = 1 - e^{-\lambda x}.$
    代入$\lambda = 0.2$，得：
    $F_X(x) = 1 - e^{-0.2x}.$