题目
设_(1)... ,(X)_(5)是取自正态总体_(1)... ,(X)_(5)的一个样本,试证 _(1)... ,(X)_(5)
设
是取自正态总体
的一个样本,试证 
题目解答
答案
是取自正态总体的一个样本,则
则
则
则
化简得
即
解析
步骤 1：确定样本的分布
${X}_{1}\cdots ,{X}_{5}$是取自正态总体N(0,σ^2)的一个样本，因此每个${X}_{i}$都服从正态分布$N(0,σ^2)$。
步骤 2：确定${X}_{1}+{X}_{2}$的分布
由于${X}_{1}$和${X}_{2}$都是独立的正态分布，它们的和${X}_{1}+{X}_{2}$也服从正态分布，且均值为$0$，方差为$2σ^2$，即${X}_{1}+{X}_{2}\sim N(0,2σ^2)$。
步骤 3：标准化${X}_{1}+{X}_{2}$
将${X}_{1}+{X}_{2}$标准化，得到$\dfrac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}σ}\sim N(0,1)$。因此，${(\dfrac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}σ})}^{2}\sim χ^{2}(1)$。
步骤 4：确定${X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}$的分布
由于${X}_{3}$, ${X}_{4}$, ${X}_{5}$都是独立的正态分布，它们的平方和${X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}$服从卡方分布，且自由度为3，即$\dfrac{{X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}}{σ^2}\sim χ^{2}(3)$。
步骤 5：构造F分布
根据F分布的定义，$F=\dfrac{\dfrac{{(\dfrac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}σ})}^{2}}{1}}{\dfrac{{X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}}{3σ^2}}\sim F(1,3)$。
步骤 6：化简F分布表达式
化简得到$F=\dfrac{3{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{2({X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2})}\sim F(1,3)$。
${X}_{1}\cdots ,{X}_{5}$是取自正态总体N(0,σ^2)的一个样本，因此每个${X}_{i}$都服从正态分布$N(0,σ^2)$。
步骤 2：确定${X}_{1}+{X}_{2}$的分布
由于${X}_{1}$和${X}_{2}$都是独立的正态分布，它们的和${X}_{1}+{X}_{2}$也服从正态分布，且均值为$0$，方差为$2σ^2$，即${X}_{1}+{X}_{2}\sim N(0,2σ^2)$。
步骤 3：标准化${X}_{1}+{X}_{2}$
将${X}_{1}+{X}_{2}$标准化，得到$\dfrac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}σ}\sim N(0,1)$。因此，${(\dfrac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}σ})}^{2}\sim χ^{2}(1)$。
步骤 4：确定${X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}$的分布
由于${X}_{3}$, ${X}_{4}$, ${X}_{5}$都是独立的正态分布，它们的平方和${X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}$服从卡方分布，且自由度为3，即$\dfrac{{X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}}{σ^2}\sim χ^{2}(3)$。
步骤 5：构造F分布
根据F分布的定义，$F=\dfrac{\dfrac{{(\dfrac{{X}_{1}+{X}_{2}}{\sqrt{2}σ})}^{2}}{1}}{\dfrac{{X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2}}{3σ^2}}\sim F(1,3)$。
步骤 6：化简F分布表达式
化简得到$F=\dfrac{3{({X}_{1}+{X}_{2})}^{2}}{2({X}_{3}^{2}+{X}_{4}^{2}+{X}_{5}^{2})}\sim F(1,3)$。