设一批木材的大头直径sim N(mu ,(sigma )^2),从中抽取5根,测得大头直径(单位:cm)如下12.3,12.8,12.4,12.1,12.7 . ①这批木材的平均直径能否认为是12.3？(取显著性水平sim N(mu ,(sigma )^2)) ②这批木材的直径方差能否认为是0.55(取显著性水平sim N(mu ,(sigma )^2))

步骤 1：计算样本均值
样本均值$\overline{x}=\dfrac{12.3+12.8+12.4+12.1+12.7}{5}=\dfrac{62.3}{5}=12.46$。
步骤 2：计算样本方差
样本方差${s}^{2}=\dfrac{1}{5-1}\left[\left(12.3-12.46\right)^{2}+\left(12.8-12.46\right)^{2}+\left(12.4-12.46\right)^{2}+\left(12.1-12.46\right)^{2}+\left(12.7-12.46\right)^{2}\right]=\dfrac{1}{4}\left[0.0256+0.1156+0.0036+0.1296+0.0576\right]=\dfrac{1}{4}\times0.332=0.083$。
步骤 3：检验假设${H}_{0}:\mu=12.3$
计算t统计量：$t=\dfrac{\overline{x}-\mu}{s/\sqrt{n}}=\dfrac{12.46-12.3}{\sqrt{0.083}/\sqrt{5}}\approx1.16$。
当自由度为4时，查t分布表得$t_{0.025}(4)=2.776$，$|t|步骤 4：检验假设${H}_{0}:{\sigma}^{2}=0.55$
计算${\chi}^{2}$统计量：${\chi}^{2}=\dfrac{(n-1){s}^{2}}{{\sigma}_{0}^{2}}=\dfrac{(5-1)\times0.083}{0.55}\approx0.6$。
自由度为4，查${\chi}^{2}$分布表，${\chi}_{0.025}^{2}(4)=11.14$，${\chi}_{0.975}^{2}(4)=0.484$，$0.484<0.6<11.14$，所以接受${H}_{0}$，可以认为这批木材的直径方差是0.55。