10、判断 若hat(theta)是theta的无偏估计量，则(hat(theta))^2也是theta^2的无偏估计量.（）A. √B. ×

考查要点：本题主要考查无偏估计量的性质以及函数变换对无偏性的影响。
解题核心思路：

1. 无偏估计量的定义：若$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量，则$E(\hat{\theta}) = \theta$。
2. 平方后的期望计算：通过方差与期望的关系，推导$E(\hat{\theta}^2)$的表达式。
3. 判断无偏性：分析$E(\hat{\theta}^2)$是否等于$\theta^2$，从而判断$\hat{\theta}^2$是否为$\theta^2$的无偏估计量。
   关键点：非线性变换（如平方）会引入方差项，导致平方后的期望不等于原参数的平方，除非方差为零（即估计量为常数）。

1. 无偏估计量的定义
   已知$\hat{\theta}$是$\theta$的无偏估计量，即：
   $E(\hat{\theta}) = \theta.$

2. 计算$\hat{\theta}^2$的期望
   根据方差与期望的关系：
   $E(\hat{\theta}^2) = \text{Var}(\hat{\theta}) + [E(\hat{\theta})]^2.$
   代入无偏性条件$E(\hat{\theta}) = \theta$，得：
   $E(\hat{\theta}^2) = \text{Var}(\hat{\theta}) + \theta^2.$

3. 判断无偏性
   若$\hat{\theta}^2$是$\theta^2$的无偏估计量，则需满足：
   $E(\hat{\theta}^2) = \theta^2.$
   代入上式可得：
   $\text{Var}(\hat{\theta}) + \theta^2 = \theta^2 \implies \text{Var}(\hat{\theta}) = 0.$
   只有当$\hat{\theta}$为常数时，方差为零。然而，实际中估计量$\hat{\theta}$是随机变量，方差通常不为零，因此$\hat{\theta}^2$的期望大于$\theta^2$，不满足无偏性。