题目
3.设总体X服从参数为λ的泊松分布若X1,X2,···,X,为来自总体X的样本,X与S^2-|||-分别为样本均值与样本方差.如果 hat (lambda )=aoverline (X)+(2-3a)(S)^2 为λ的无偏估计量则 a= __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解无偏估计量的定义
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即对于参数λ，如果$\hat{\lambda}$是λ的无偏估计量，则有$E(\hat{\lambda}) = \lambda$。
步骤 2：计算样本均值和样本方差的期望值
对于泊松分布，总体均值和方差都是λ。因此，样本均值$\overline{X}$的期望值$E(\overline{X}) = \lambda$，样本方差$S^2$的期望值$E(S^2) = \lambda$。
步骤 3：计算$\hat{\lambda}$的期望值
根据题目给出的$\hat{\lambda} = a\overline{X} + (2-3a)S^2$，代入步骤2中的期望值，得到$E(\hat{\lambda}) = aE(\overline{X}) + (2-3a)E(S^2) = a\lambda + (2-3a)\lambda = (a + 2 - 3a)\lambda = (2 - 2a)\lambda$。
步骤 4：根据无偏估计量的定义求解a
由于$\hat{\lambda}$是λ的无偏估计量，所以$E(\hat{\lambda}) = \lambda$，即$(2 - 2a)\lambda = \lambda$。解这个方程得到$a = \frac{1}{2}$。
无偏估计量是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即对于参数λ，如果$\hat{\lambda}$是λ的无偏估计量，则有$E(\hat{\lambda}) = \lambda$。
步骤 2：计算样本均值和样本方差的期望值
对于泊松分布，总体均值和方差都是λ。因此，样本均值$\overline{X}$的期望值$E(\overline{X}) = \lambda$，样本方差$S^2$的期望值$E(S^2) = \lambda$。
步骤 3：计算$\hat{\lambda}$的期望值
根据题目给出的$\hat{\lambda} = a\overline{X} + (2-3a)S^2$，代入步骤2中的期望值，得到$E(\hat{\lambda}) = aE(\overline{X}) + (2-3a)E(S^2) = a\lambda + (2-3a)\lambda = (a + 2 - 3a)\lambda = (2 - 2a)\lambda$。
步骤 4：根据无偏估计量的定义求解a
由于$\hat{\lambda}$是λ的无偏估计量，所以$E(\hat{\lambda}) = \lambda$，即$(2 - 2a)\lambda = \lambda$。解这个方程得到$a = \frac{1}{2}$。