例1-30 lim_(xto1)e^(1)/(x-1)=____.A. 1B. 0C. ∞D. 不存在

考查要点：本题主要考查极限的左右极限是否存在及相等性，特别是涉及指数函数在不同趋近方向下的表现。

解题核心思路：
当$x \to 1$时，分母$x-1$趋近于0，此时$\frac{1}{x-1}$的符号取决于$x$从左侧还是右侧趋近于1。指数函数$e^t$的特性是当$t \to +\infty$时，$e^t \to +\infty$；当$t \to -\infty$时，$e^t \to 0$。因此，需分别计算左极限和右极限，判断它们是否相等。

破题关键点：

1. 分左右极限讨论：分别考虑$x$从右侧（$x \to 1^+$）和左侧（$x \to 1^-$）趋近于1的情况。
2. 判断极限是否存在：若左右极限存在但不相等，则原极限不存在。

步骤1：分析右极限（$x \to 1^+$）

当$x$从右侧趋近于1时，$x-1 > 0$，因此$\frac{1}{x-1} \to +\infty$。此时：
$\lim_{x \to 1^+} e^{\frac{1}{x-1}} = e^{+\infty} = +\infty$

步骤2：分析左极限（$x \to 1^-$）

当$x$从左侧趋近于1时，$x-1 < 0$，因此$\frac{1}{x-1} \to -\infty$。此时：
$\lim_{x \to 1^-} e^{\frac{1}{x-1}} = e^{-\infty} = 0$

步骤3：判断极限是否存在

由于右极限为$+\infty$，左极限为$0$，左右极限不相等，因此原极限$\lim_{x \to 1} e^{\frac{1}{x-1}}$不存在。