题目

七、计算题1.随机抽取25亩水稻亩产，测得平均亩产为650千克，标准差为75千克，试求总体平均亩产在620千克-680千克之间的概率。

七、计算题 1.随机抽取25亩水稻亩产，测得平均亩产为650千克，标准差为75千克，试求总体平均亩产在620千克-680千克之间的概率。

题目解答

答案

为了求出总体平均亩产在620千克到680千克之间的概率，我们可以使用中心极限定理。中心极限定理指出，样本均值的抽样分布近似于正态分布，其均值为总体均值，标准差为总体标准差除以样本量的平方根。 已知： - 样本均值 $\bar{x} = 650$ 千克 - 样本标准差 $s = 75$ 千克 - 样本量 $n = 25$ 首先，我们需要计算样本均值的标准差，也称为标准误差： \[ \text{标准误差} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{75}{\sqrt{25}} = \frac{75}{5} = 15 \text{ 千克} \] 接下来，我们需要将总体平均亩产的范围（620千克到680千克）转换为z分数。z分数的计算公式为： \[ z = \frac{\text{值} - \text{样本均值}}{\text{标准误差}} \] 对于下限620千克： \[ z_1 = \frac{620 - 650}{15} = \frac{-30}{15} = -2 \] 对于上限680千克： \[ z_2 = \frac{680 - 650}{15} = \frac{30}{15} = 2 \] 现在，我们需要找到z分数在-2和2之间的概率。我们可以使用标准正态分布表（z表）来找到这些概率。 z分数为-2的累积概率大约为0.0228，z分数为2的累积概率大约为0.9772。因此，z分数在-2和2之间的概率为： \[ P(-2 < z < 2) = P(z < 2) - P(z < -2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544 \] 所以，总体平均亩产在620千克到680千克之间的概率是 $\boxed{0.9544}$。

解析

考查要点：本题主要考查中心极限定理的应用，以及如何利用标准正态分布计算概率。

解题核心思路：

  1. 中心极限定理指出，样本均值的分布近似正态，其均值为总体均值，标准差为样本标准差除以样本量的平方根（即标准误差）。
  2. 将题目中给定的总体均值范围（620-680千克）转化为标准正态分布的z分数，通过查标准正态分布表求出对应概率。

破题关键点：

  • 正确计算标准误差：标准误差 = 样本标准差 / √样本量。
  • 准确转换z分数：用总体均值的上下限与样本均值的差，除以标准误差。
  • 理解概率含义：所求概率是样本均值落在该范围内的概率，对应总体均值的实际范围。

步骤1：计算标准误差

根据公式：
$\text{标准误差} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{75}{\sqrt{25}} = \frac{75}{5} = 15 \text{ 千克}$

步骤2：计算z分数

将总体均值的上下限转换为z分数：

  • 下限620千克：
    $z_1 = \frac{620 - 650}{15} = \frac{-30}{15} = -2$
  • 上限680千克：
    $z_2 = \frac{680 - 650}{15} = \frac{30}{15} = 2$

步骤3：查标准正态分布表

  • z = -2的累积概率为0.0228，z = 2的累积概率为0.9772。
  • 区间概率：
    $P(-2 < z < 2) = 0.9772 - 0.0228 = 0.9544$