甲、乙两个戏院在争取1000名观众,假定每个观众完全等可能地随机地选择一个戏院,且观众选择哪个戏院是彼此独立的,问某戏院应该设有多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%?

步骤 1：定义随机变量
设随机变量 $\xi$ 表示选择甲戏院的观众人数，则 $\xi$ 服从二项分布 $B(1000, 0.5)$，因为每个观众选择甲戏院的概率为 $0.5$，且选择是独立的。

步骤 2：计算期望和方差
根据二项分布的性质，期望 $E(\xi) = np = 1000 \times 0.5 = 500$，方差 $Var(\xi) = np(1-p) = 1000 \times 0.5 \times 0.5 = 250$。

步骤 3：应用中心极限定理
当 $n$ 足够大时，二项分布可以近似为正态分布，即 $\xi \sim N(500, 250)$。为了保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%，我们需要找到一个 $x$，使得 $P(\xi > x) < 0.01$。

步骤 4：标准化并查找标准正态分布表
将 $\xi$ 标准化，得到 $Z = \frac{\xi - 500}{\sqrt{250}}$，则 $Z \sim N(0, 1)$。我们需要找到 $z$，使得 $P(Z > z) < 0.01$。查标准正态分布表，得到 $z = 2.326$。

步骤 5：计算 $x$
根据标准化公式，$z = \frac{x - 500}{\sqrt{250}}$，代入 $z = 2.326$，得到 $x = 500 + 2.326 \times \sqrt{250} \approx 536.2$。

步骤 6：确定座位数
因为座位数必须是整数，所以甲戏院应该设有至少537个座位才能保证因缺少座位而使观众离去的概率小于1%。