题目

设随机变量 X sim N(3, 2^2)，求：(1) P2 leq X < 5, P|X| > 2;(2) c 的值，使 PX > c = PX < c.

设随机变量 $X \sim N(3, 2^2)$，求： (1) $P\{2 \leq X < 5\}$, $P\{|X| > 2\}$; (2) $c$ 的值，使 $P\{X > c\} = P\{X < c\}$.

题目解答

答案

我们来逐步解决这个题目，其中随机变量 $ X \sim N(3, 2^2) $，即 $ X $ 服从均值为 3，标准差为 2 的正态分布。

第(1)问：

(1.1) 求 $ P\{2 \leq X < 5\} $

由于 $ X \sim N(3, 2^2) $，我们可以将其标准化为标准正态分布 $ Z \sim N(0,1) $。

标准化公式为：

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{X - 3}{2}$

所以：

$P\{2 \leq X < 5\} = P\left\{\frac{2 - 3}{2} \leq Z < \frac{5 - 3}{2}\right\} = P\left\{-0.5 \leq Z < 1\right\}$

查标准正态分布表或使用计算器：

  • $ \Phi(1) \approx 0.8413 $
  • $ \Phi(-0.5) = 1 - \Phi(0.5) \approx 1 - 0.6915 = 0.3085 $

所以：

$P\{-0.5 \leq Z < 1\} = \Phi(1) - \Phi(-0.5) = 0.8413 - 0.3085 = \boxed{0.5328}$

(1.2) 求 $ P\{|X| > 2\} $

注意：$ |X| > 2 $ 表示 $ X > 2 $ 或 $ X < -2 $，所以：

$P\{|X| > 2\} = P\{X > 2\} + P\{X < -2\}$

我们分别计算这两个概率：

  • $ P\{X > 2\} = 1 - P\{X \leq 2\} = 1 - \Phi\left(\frac{2 - 3}{2}\right) = 1 - \Phi(-0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915 $
  • $ P\{X < -2\} = \Phi\left(\frac{-2 - 3}{2}\right) = \Phi(-2.5) = 1 - \Phi(2.5) \approx 1 - 0.9938 = 0.0062 $

所以：

$P\{|X| > 2\} = 0.6915 + 0.0062 = \boxed{0.6977}$

第(2)问：

求 $ c $ 的值，使 $ P\{X > c\} = P\{X < c\} $

这个条件意味着：

$P\{X > c\} = P\{X < c\}$

而因为正态分布是对称的，只有在 $ c = \mu $ 时，两边概率才相等。

所以：

$\boxed{c = 3}$

最终答案：

(1)

  • $ P\{2 \leq X < 5\} = \boxed{0.5328} $
  • $ P\{|X| > 2\} = \boxed{0.6977} $

(2)

  • $ c = \boxed{3} $

如需更精确的数值或进一步解释，可以继续提问！

解析

本题考查正态分布的概率计算以及正态分布的对称性。解题思路如下：

  1. 对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，要计算概率 $P\{a \leq X < b\}$，需要先将 $X$ 标准化为标准正态分布 $Z \sim N(0, 1)$，标准化公式为 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，然后根据标准正态分布的性质计算概率。
  2. 对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，要找到 $c$ 使得 $P\{X > c\} = P\{X < c\}$，根据正态分布的对称性可知 $c = \mu$。

下面进行详细计算：

  1. 计算 $P\{2 \leq X < 5\}$：
    已知 $X \sim N(3, 2^2)$，即 $\mu = 3$，$\sigma = 2$。
    将 $X$ 标准化为 $Z$，根据标准化公式 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，可得：
    $P\{2 \leq X < 5\} = P\left\{\frac{2 - 3}{2} \leq Z < \frac{5 - 3}{2}\right\} = P\left\{-0.5 \leq Z < 1\right\}$
    根据标准正态分布的性质，$P\left\{-0.5 \leq Z < 1\right\} = \Phi(1) - \Phi(-0.5)$，其中 $\Phi(z)$ 表示标准正态分布的累积分布函数。
    查标准正态分布表或使用计算器可得：
    $\Phi(1) \approx 0.8413$，$\Phi(-0.5) = 1 - \Phi(0.5) \approx 1 - 0.6915 = 0.3085$
    所以：
    $P\left\{-0.5 \leq Z < 1\right\} = \Phi(1) - \Phi(-0.5) = 0.8413 - 0.3085 = 0.5328$

  2. 计算 $P\{|X| > 2\}$：
    因为 $|X| > 2$ 表示 $X > 2$ 或 $X < -2$，所以：
    $P\{|X| > 2\} = P\{X > 2\} + P\{X < -2\}$
    分别计算这两个概率：
    $P\{X > 2\} = 1 - P\{X \leq 2\} = 1 - \Phi\left(\frac{2 - 3}{2}\right) = 1 - \Phi(-0.5) = 1 - 0.3085 = 0.6915$
    $P\{X < -2\} = \Phi\left(\frac{-2 - 3}{2}\right) = \Phi(-2.5) = 1 - \Phi(2.5) \approx 1 - 0.9938 = 0.0062$
    所以：
    $P\{|X| > 2\} = 0.6915 + 0.0062 = 0.6977$

  3. 计算 $c$ 的值，使 $P\{X > c\} = P\{X < c\}$：
    根据正态分布的对称性可知，当 $c = \mu$ 时，$P\{X > c\} = P\{X < c\}$。
    已知 $\mu = 3$，所以 $c = 3$。