11.设总体X的概率密度为-|||-11.设总体X的概率密度为 :-|||-(x;theta )= {x)^(1-theta )/theta ,0lt xlt 1 0,,-|||-(2)证明θ是θ的无偏估计量.

步骤 1：构造似然函数
似然函数 $L(\theta)$ 是概率密度函数 $f(x;\theta)$ 在给定样本 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 下的乘积，即
$$
L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \theta) = \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta} X_i^{(1-\theta)/\theta}.
$$
步骤 2：对似然函数取对数
为了简化计算，我们对似然函数取对数，得到对数似然函数 $\ln L(\theta)$：
$$
\ln L(\theta) = \sum_{i=1}^{n} \ln \left( \frac{1}{\theta} X_i^{(1-\theta)/\theta} \right) = -n \ln \theta + \frac{1-\theta}{\theta} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.
$$
步骤 3：求导并求解
为了找到 $\theta$ 的最大似然估计量，我们需要对 $\ln L(\theta)$ 关于 $\theta$ 求导，并令导数等于零：
$$
\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = -\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.
$$
令导数等于零，得到：
$$
-\frac{n}{\theta} + \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i = 0.
$$
解这个方程，得到 $\theta$ 的最大似然估计量：
$$
\hat{\theta} = \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i.
$$
步骤 4：证明无偏性
为了证明 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，我们需要计算 $\hat{\theta}$ 的期望值 $E(\hat{\theta})$：
$$
E(\hat{\theta}) = E\left( \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} \ln X_i \right) = \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(\ln X_i).
$$
由于 $X_i$ 是独立同分布的，我们只需要计算 $E(\ln X_i)$。根据概率密度函数 $f(x;\theta)$，我们有：
$$
E(\ln X_i) = \int_0^1 \ln x \cdot \frac{1}{\theta} x^{(1-\theta)/\theta} dx.
$$
通过分部积分法，可以得到：
$$
E(\ln X_i) = \theta.
$$
因此，
$$
E(\hat{\theta}) = \frac{-1}{n} \sum_{i=1}^{n} \theta = \theta.
$$