题目

2.(10分)某厂生产的滚珠直径(单位:mm)服从正态分布N(2.05,0.01)，合格品的规格规定直径为 2pm 0.2, 求该厂滚珠的合格率.

2.(10分)某厂生产的滚珠直径(单位:mm)服从正态分布N(2.05,0.01)，合格品的规格规定直径为 2$\pm$ 0.2, 求该厂滚珠的合格率.

题目解答

答案

设滚珠直径 $X$ 服从正态分布 $N(2.05, 0.01)$，即 $\mu = 2.05$，$\sigma = 0.1$。合格品范围为 $2 \pm 0.2$，即 $1.8 \leq X \leq 2.2$。 将 $X$ 转化为标准正态分布 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，得： \[ Z_1 = \frac{1.8 - 2.05}{0.1} = -2.5, \quad Z_2 = \frac{2.2 - 2.05}{0.1} = 1.5 \] 所求概率为 $P(-2.5 < Z < 1.5)$。根据标准正态分布表： \[ P(Z < 1.5) \approx 0.9332, \quad P(Z < -2.5) = 1 - P(Z < 2.5) \approx 1 - 0.9938 = 0.0062 \] 因此， \[ P(-2.5 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) - P(Z < -2.5) \approx 0.9332 - 0.0062 = 0.9270 \] **答案：** $\boxed{0.9270}$（或 $92.7\%$）

解析

本题考查正态分布的概率计算，解题思路是先明确滚珠直径的正态分布参数，确定合格品的直径范围，然后将其转化为标准正态分布，最后利用标准正态分布表计算相应概率。

  1. 已知滚珠直径$X$服从正态分布$N(2.05, 0.01)$，根据正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$的参数含义，可得均值$\mu = 2.05$，标准差$\sigma=\sqrt{0.01} = 0.1$。
  2. 合格品的规格规定直径为$2\pm 0.2$，即合格品的直径范围是$1.8\leq X\leq 2.2$，所以要求的合格率就是$P(1.8\leq X\leq 2.2)$。
  3. 为了方便计算概率，将$X$转化为标准正态分布$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。
    • 当$X = 1.8$时，$Z_1 = \frac{1.8 - 2.05}{0.1}=\frac{-0.25}{0.1}=-2.5$。
    • 当$X = 2.2$时，$Z_2 = \frac{2.2 - 2.05}{0.1}=\frac{0.15}{0.1}=1.5$。
    • 那么$P(1.8\leq X\leq 2.2)=P(-2.5\leq Z\leq 1.5)$。
  4. 根据标准正态分布的性质$P(-2.5\leq Z\leq 1.5)=P(Z\leq 1.5)-P(Z\leq -2.5)$。
    • 查标准正态分布表可得$P(Z\leq 1.5)\approx 0.9332$。
    • 又因为标准正态分布关于$y$轴对称，所以$P(Z\leq -2.5)=1 - P(Z\leq 2.5)$，查标准正态分布表得$P(Z\leq 2.5)\approx 0.9938$，则$P(Z\leq -2.5)=1 - 0.9938 = 0.0062$。
  5. 计算$P(-2.5\leq Z\leq 1.5)$的值：
    $P(-2.5\leq Z\leq 1.5)=P(Z\leq 1.5)-P(Z\leq -2.5)\approx 0.9332 - 0.0062 = 0.9270$。