题目
假设总体 X sim N(mu, sigma^2)，则参数为 mu, sigma^2的最大似然估计量是 () A. overline(X), n div (n-1) S^2 B. overline(X), S^2 C. n overline(X), S^2 D. overline(X), (n-1)div n S^2
$$ 假设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则参数为 $\mu, \sigma^2$的最大似然估计量是 () $$
- A. $$ $\overline{X}, n \div {n-1}\ \ S^2$ $$
- B. $$ $\overline{X}, S^2$ $$
- C. $$ $n \overline{X}, S^2$ $$
- D. $$ $\overline{X}, {n-1}\div n S^2$ $$
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：最大似然估计量的定义
最大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的值。对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，似然函数是基于样本数据的联合概率密度函数。
步骤 2：似然函数的构造
对于独立同分布的样本 $X_1, X_2, ..., X_n$，似然函数 $L(\mu, \sigma^2)$ 可以表示为：
$$ L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \mu, \sigma^2) $$
其中 $f(X_i; \mu, \sigma^2)$ 是正态分布的概率密度函数。
步骤 3：对数似然函数的构造
为了简化计算，通常对似然函数取对数，得到对数似然函数 $l(\mu, \sigma^2)$：
$$ l(\mu, \sigma^2) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(X_i; \mu, \sigma^2) $$
对于正态分布，对数似然函数可以进一步简化为：
$$ l(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 $$
步骤 4：最大化对数似然函数
为了找到最大似然估计量，我们需要对对数似然函数分别对 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 求偏导数，并令其等于零。
$$ \frac{\partial l}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu) = 0 $$
$$ \frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 = 0 $$
步骤 5：求解最大似然估计量
从 $\frac{\partial l}{\partial \mu} = 0$ 可以得到 $\mu$ 的最大似然估计量为样本均值 $\overline{X}$。
从 $\frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = 0$ 可以得到 $\sigma^2$ 的最大似然估计量为：
$$ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 $$
注意到样本方差 $S^2$ 的定义为：
$$ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 $$
因此，$\sigma^2$ 的最大似然估计量可以表示为：
$$ \hat{\sigma}^2 = \frac{n-1}{n} S^2 $$
最大似然估计量是通过最大化似然函数来估计参数的值。对于正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，似然函数是基于样本数据的联合概率密度函数。
步骤 2：似然函数的构造
对于独立同分布的样本 $X_1, X_2, ..., X_n$，似然函数 $L(\mu, \sigma^2)$ 可以表示为：
$$ L(\mu, \sigma^2) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i; \mu, \sigma^2) $$
其中 $f(X_i; \mu, \sigma^2)$ 是正态分布的概率密度函数。
步骤 3：对数似然函数的构造
为了简化计算，通常对似然函数取对数，得到对数似然函数 $l(\mu, \sigma^2)$：
$$ l(\mu, \sigma^2) = \sum_{i=1}^{n} \ln f(X_i; \mu, \sigma^2) $$
对于正态分布，对数似然函数可以进一步简化为：
$$ l(\mu, \sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 $$
步骤 4：最大化对数似然函数
为了找到最大似然估计量，我们需要对对数似然函数分别对 $\mu$ 和 $\sigma^2$ 求偏导数，并令其等于零。
$$ \frac{\partial l}{\partial \mu} = \frac{1}{\sigma^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu) = 0 $$
$$ \frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 = 0 $$
步骤 5：求解最大似然估计量
从 $\frac{\partial l}{\partial \mu} = 0$ 可以得到 $\mu$ 的最大似然估计量为样本均值 $\overline{X}$。
从 $\frac{\partial l}{\partial \sigma^2} = 0$ 可以得到 $\sigma^2$ 的最大似然估计量为：
$$ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 $$
注意到样本方差 $S^2$ 的定义为：
$$ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X})^2 $$
因此，$\sigma^2$ 的最大似然估计量可以表示为：
$$ \hat{\sigma}^2 = \frac{n-1}{n} S^2 $$