计算机在进行加法计算时,把每个加数取为最接近它的整数来计算,设所有取整误差是相 互独立的随机变量,并且都在区间[0.5,0.5 ]上服从均匀分布,求1200个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率。已知: (1)=0.8413; (2)=0.9772。

考查要点：本题主要考查独立同分布中心极限定理的应用，以及均匀分布的期望与方差计算。需要将实际问题转化为正态分布的概率计算。

解题核心思路：

1. 确定单个误差的分布参数：每个误差服从区间$[-0.5, 0.5]$上的均匀分布，计算其期望和方差。
2. 应用中心极限定理：当加数个数$n=1200$较大时，误差总和近似服从正态分布。
3. 标准化处理：将误差总和的绝对值小于10的概率转化为标准正态分布下的概率，利用已知的$\Phi(1)=0.8413$求解。

破题关键点：

• 均匀分布的期望与方差公式：$E(X)=\frac{a+b}{2}$，$D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$。
• 中心极限定理的应用条件：独立同分布且$n$较大。
• 标准正态分布的对称性：利用$\Phi(1)$计算$P(|Z|<1)$。

步骤1：计算单个误差的期望与方差

每个误差$X_i$服从区间$[-0.5, 0.5]$上的均匀分布：

• 期望：
  $E(X_i) = \frac{-0.5 + 0.5}{2} = 0$
• 方差：
  $D(X_i) = \frac{(0.5 - (-0.5))^2}{12} = \frac{1}{12}$

步骤2：确定误差总和的分布

设误差总和为$S_{1200} = X_1 + X_2 + \cdots + X_{1200}$，根据中心极限定理：

• 期望：
  $E(S_{1200}) = 1200 \cdot E(X_i) = 0$
• 方差：
  $D(S_{1200}) = 1200 \cdot D(X_i) = 1200 \cdot \frac{1}{12} = 100$
• 标准差：
  $\sigma_{S_{1200}} = \sqrt{100} = 10$

因此，$S_{1200}$近似服从$N(0, 10^2)$。

步骤3：标准化并计算概率

要求$P(|S_{1200}| < 10)$，即：
$P\left(-10 < S_{1200} < 10\right) = P\left(-1 < \frac{S_{1200} - 0}{10} < 1\right)$
令$Z = \frac{S_{1200}}{10}$，则$Z \sim N(0, 1)$，所求概率为：
$P(-1 < Z < 1) = \Phi(1) - \Phi(-1) = \Phi(1) - (1 - \Phi(1)) = 2\Phi(1) - 1$
代入$\Phi(1) = 0.8413$：
$2 \times 0.8413 - 1 = 0.6826$