题目
11分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得1分，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局11分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为(2)/(3)，乙发球时甲得分的概率为(1)/(2)，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为10:10.(1)求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值；(2)求第一局比赛甲获胜的概率P_(0)；(3)现用P_(0)估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
$11$分制乒乓球比赛规则如下：在一局比赛中，每两球交换发球权，每赢一球得$1$分，先得$11$分且至少领先$2$分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成$10:10$后，每球交换发球权，领先$2$分者胜，该局比赛结束.现有甲、乙两人进行一场五局三胜、每局$11$分制的乒乓球比赛，比赛开始前通过抛掷一枚质地均匀的硬币来确定谁先发球.假设甲发球时甲得分的概率为$\frac{2}{3}$，乙发球时甲得分的概率为$\frac{1}{2}$，各球的比赛结果相互独立，且各局的比赛结果也相互独立.已知第一局目前比分为$10:10$.
$(1)$求再打两个球甲新增的得分$X$的分布列和均值；
$(2)$求第一局比赛甲获胜的概率$P_{0}$；
$(3)$现用$P_{0}$估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
$(1)$求再打两个球甲新增的得分$X$的分布列和均值；
$(2)$求第一局比赛甲获胜的概率$P_{0}$；
$(3)$现用$P_{0}$估计每局比赛甲获胜的概率，求该场比赛甲获胜的概率.
题目解答
答案
（1）依题意，$X$的所有可能取值为$0$，$1$，$2$，
设打成$10:10$后甲先发球为事件$A$，则乙先发球为事件$\overline{A}$，且$P(A)=P(\overline{A})=\frac{1}{2}$，
所以$P\left(X=0\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(X=0|A\right)+P(\overline{A})\cdot P(X=0|\overline{A})=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
$P\left(X=1\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(X=1|A\right)+P(\overline{A})\cdot P(X=1|\overline{A})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3})=\frac{1}{2}$，
$P(X=2)=P(A)•P(X=2|A)+P(\overline{A})•P(X=2|\overline{A})=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
所以$X$的分布列为：
故$X$的均值为$E(X)=0×\frac{1}{6}+1×\frac{1}{2}+2×\frac{1}{3}=\frac{7}{6}$；
$(2)$设第一局比赛甲获胜为事件$B$，
方法一：则$P\left(B|X=0\right)=0$，$P\left(B|X=1\right)=P\left(B\right)$，$P\left(B|X=2\right)=1$，
由（1）知，$P(X=0)=\frac{1}{6}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$，$P(X=2)=\frac{1}{3}$，
由全概率公式，得$P\left(B\right)=P\left(X=0\right)P\left(B|X=0\right)+P\left(X=1\right)P\left(B|X=1\right)+P\left(X=2\right)P\left(B|X=2\right)=\frac{1}{6}×0+\frac{1}{2}P(B)+\frac{1}{3}$，
解得$P(B)=\frac{2}{3}$，
即第一局比赛甲获胜的概率$P_{0}=\frac{2}{3}$；
方法二：由（1）可知再打两个球甲新增$1$分的概率为$\frac{1}{2}$，增$2$分的概率为$\frac{1}{3}$，
则$P_{0}=\lim_{n→+∞}[\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+…+(\frac{1}{2})^{n}×\frac{1}{3}]=\lim_{n→+∞}\frac{1}{3}(2-\frac{1}{{2}^{n}})=\frac{2}{3}$；
$(3)$由（2）知$P_0=\frac{2}{3}$，故估计甲每局获胜的概率均为$\frac{2}{3}$，
设甲获胜时的比赛总局数为$Y$，因为每局的比赛结果相互独立，
所以$P(Y=3)=(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{27}$，$P(Y=4)=C_{3}^{1}×(\frac{2}{3})^{3}×\frac{1}{3}=\frac{8}{27}$，$P(Y=5)=C_{4}^{2}×(\frac{2}{3})^{3}×(\frac{1}{3})^{2}=\frac{16}{81}$，
故该场比赛甲获胜的概率$P=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=\frac{64}{81}$.
设打成$10:10$后甲先发球为事件$A$，则乙先发球为事件$\overline{A}$，且$P(A)=P(\overline{A})=\frac{1}{2}$，
所以$P\left(X=0\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(X=0|A\right)+P(\overline{A})\cdot P(X=0|\overline{A})=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$，
$P\left(X=1\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(X=1|A\right)+P(\overline{A})\cdot P(X=1|\overline{A})=\frac{1}{2}×(\frac{1}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{1}{2})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{2}{3})=\frac{1}{2}$，
$P(X=2)=P(A)•P(X=2|A)+P(\overline{A})•P(X=2|\overline{A})=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$，
所以$X$的分布列为：
| $X$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{3}$ |
$(2)$设第一局比赛甲获胜为事件$B$，
方法一：则$P\left(B|X=0\right)=0$，$P\left(B|X=1\right)=P\left(B\right)$，$P\left(B|X=2\right)=1$，
由（1）知，$P(X=0)=\frac{1}{6}$，$P(X=1)=\frac{1}{2}$，$P(X=2)=\frac{1}{3}$，
由全概率公式，得$P\left(B\right)=P\left(X=0\right)P\left(B|X=0\right)+P\left(X=1\right)P\left(B|X=1\right)+P\left(X=2\right)P\left(B|X=2\right)=\frac{1}{6}×0+\frac{1}{2}P(B)+\frac{1}{3}$，
解得$P(B)=\frac{2}{3}$，
即第一局比赛甲获胜的概率$P_{0}=\frac{2}{3}$；
方法二：由（1）可知再打两个球甲新增$1$分的概率为$\frac{1}{2}$，增$2$分的概率为$\frac{1}{3}$，
则$P_{0}=\lim_{n→+∞}[\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{3}+…+(\frac{1}{2})^{n}×\frac{1}{3}]=\lim_{n→+∞}\frac{1}{3}(2-\frac{1}{{2}^{n}})=\frac{2}{3}$；
$(3)$由（2）知$P_0=\frac{2}{3}$，故估计甲每局获胜的概率均为$\frac{2}{3}$，
设甲获胜时的比赛总局数为$Y$，因为每局的比赛结果相互独立，
所以$P(Y=3)=(\frac{2}{3})^{3}=\frac{8}{27}$，$P(Y=4)=C_{3}^{1}×(\frac{2}{3})^{3}×\frac{1}{3}=\frac{8}{27}$，$P(Y=5)=C_{4}^{2}×(\frac{2}{3})^{3}×(\frac{1}{3})^{2}=\frac{16}{81}$，
故该场比赛甲获胜的概率$P=P(Y=3)+P(Y=4)+P(Y=5)=\frac{64}{81}$.