5.填空题某次考试成绩X服从正态分布X~N(75,15²)(单位：分)，则此次考试的及格率P(X≥60)=____，优秀率P(X≥90)=____，考试成绩至少高于____分才能排名前50%。第1空： 15.87%第2空：第3空：

为了解决这个问题，我们需要使用正态分布的性质和标准正态分布表。正态分布 $ X \sim N(75, 15^2) $ 的均值为 $ \mu = 75 $，标准差为 $ \sigma = 15 $。 ### 第1空：及格率 $ P(X \geq 60) $ 首先，我们需要将 $ X = 60 $ 转换为标准正态变量 $ Z $。标准正态变量 $ Z $ 的计算公式为： \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \] 将 $ X = 60 $， $ \mu = 75 $，和 $ \sigma = 15 $ 代入，得到： \[ Z = \frac{60 - 75}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \] 我们需要找到 $ P(X \geq 60) $，这等价于 $ P(Z \geq -1) $。根据正态分布的对称性， $ P(Z \geq -1) = 1 - P(Z < -1) = 1 - P(Z \leq -1) $。从标准正态分布表中，我们可以找到 $ P(Z \leq -1) \approx 0.1587 $。因此： \[ P(Z \geq -1) = 1 - 0.1587 = 0.8413 \] 将这个概率转换为百分比，得到： \[ 0.8413 \times 100\% = 84.13\% \] 所以，及格率 $ P(X \geq 60) $ 为 $ \boxed{84.13\%} $。 ### 第2空：优秀率 $ P(X \geq 90) $ 同样，我们需要将 $ X = 90 $ 转换为标准正态变量 $ Z $： \[ Z = \frac{90 - 75}{15} = \frac{15}{15} = 1 \] 我们需要找到 $ P(X \geq 90) $，这等价于 $ P(Z \geq 1) $。从标准正态分布表中，我们可以找到 $ P(Z \leq 1) \approx 0.8413 $。因此： \[ P(Z \geq 1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587 \] 将这个概率转换为百分比，得到： \[ 0.1587 \times 100\% = 15.87\% \] 所以，优秀率 $ P(X \geq 90) $ 为 $ \boxed{15.87\%} $。 ### 第3空：考试成绩至少高于多少分才能排名前50% 要找到考试成绩至少高于多少分才能排名前50%，我们需要找到中位数。对于正态分布，中位数等于均值。因此，考试成绩至少高于 $ \mu = 75 $ 分才能排名前50%。 所以，答案是 $ \boxed{75} $。