(19)(本题满分10分)-|||-设f(x)在 [ 0,+infty ) 上可导, (0)=0, 且f(x)的反函数为g(x),若-|||-(int )_(0)^f(x)g(t)dt=(int )_(0)^xdfrac (t{sin )^3t}(sin t+cos t)dt,-|||-求 (dfrac (pi )(2)).

考查要点：本题主要考查变上限积分求导、反函数性质以及积分对称性应用。
解题思路：

1. 对等式两边同时求导，利用变上限积分求导法则和微积分基本定理，得到关于$f'(x)$的方程。
2. 利用反函数性质$g(f(x)) = x$（$x \neq 0$），化简方程得到$f'(x)$的表达式。
3. 积分求$f(\frac{\pi}{2})$，通过变量替换和对称性简化积分，结合三角恒等式计算定积分。

步骤1：对等式两边求导

左边：$\frac{d}{dx} \int_{0}^{f(x)} g(t) dt = g(f(x)) \cdot f'(x)$（变上限积分求导法则）。
右边：$\frac{d}{dx} \int_{0}^{x} \frac{t \sin^3 t}{\sin t + \cos t} dt = \frac{x \sin^3 x}{\sin x + \cos x}$（微积分基本定理）。
因此得到方程：
$g(f(x)) \cdot f'(x) = \frac{x \sin^3 x}{\sin x + \cos x}.$

步骤2：利用反函数性质化简

由反函数性质$g(f(x)) = x$（$x \neq 0$），代入方程得：
$x \cdot f'(x) = \frac{x \sin^3 x}{\sin x + \cos x} \implies f'(x) = \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x}.$

步骤3：积分求$f\left(\frac{\pi}{2}\right)$

由$f(0) = 0$，积分$f'(x)$：
$f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}{\sin x + \cos x} dx.$

步骤4：变量替换与积分对称性

令$x = \frac{\pi}{2} - t$，则$\sin x = \cos t$，$\cos x = \sin t$，积分变为：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^3 t}{\sin t + \cos t} dt.$
将原积分与新积分相加，得：
$\begin{aligned}2I &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin x + \cos x} dx \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) dx \\&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \sin x \cos x) dx.\end{aligned}$

步骤5：计算定积分

拆分为两个积分：
$\begin{aligned}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx &= \frac{\pi}{2}, \\\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos x dx &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u du = \frac{1}{4}.\end{aligned}$
因此：
$2I = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \implies I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4}.$