题目
3.已知总体X的密度函数为-|||-.f(x)= ) (e)^-(x-theta ), xgt theta 0, xleqslant theta . θ为未知参数,-|||-,-|||-X1,X2,···,Xn为简单随机样本,求θ的极大似然估计量.
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出似然函数
似然函数是基于样本数据的联合概率密度函数，对于给定的样本数据 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，似然函数为：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \prod_{i=1}^{n} e^{-(X_i-\theta)} \quad \text{for} \quad X_i > \theta$$
步骤 2：确定似然函数的定义域
由于 $f(x)$ 在 $x \leq \theta$ 时为 0，因此似然函数 $L(\theta)$ 只在所有 $X_i > \theta$ 时才非零。这意味着 $\theta$ 必须小于或等于所有样本值中的最小值，即 $\theta \leq \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$。
步骤 3：求极大似然估计量
为了使似然函数 $L(\theta)$ 最大，我们需要选择 $\theta$ 的值，使得 $L(\theta)$ 尽可能大。由于 $L(\theta)$ 是指数函数的乘积，且指数函数是单调递减的，因此 $L(\theta)$ 在 $\theta$ 越大时越小。因此，为了使 $L(\theta)$ 最大，我们需要选择 $\theta$ 的最大可能值，即 $\theta = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$。
似然函数是基于样本数据的联合概率密度函数，对于给定的样本数据 $X_1, X_2, \cdots, X_n$，似然函数为：
$$L(\theta) = \prod_{i=1}^{n} f(X_i) = \prod_{i=1}^{n} e^{-(X_i-\theta)} \quad \text{for} \quad X_i > \theta$$
步骤 2：确定似然函数的定义域
由于 $f(x)$ 在 $x \leq \theta$ 时为 0，因此似然函数 $L(\theta)$ 只在所有 $X_i > \theta$ 时才非零。这意味着 $\theta$ 必须小于或等于所有样本值中的最小值，即 $\theta \leq \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$。
步骤 3：求极大似然估计量
为了使似然函数 $L(\theta)$ 最大，我们需要选择 $\theta$ 的值，使得 $L(\theta)$ 尽可能大。由于 $L(\theta)$ 是指数函数的乘积，且指数函数是单调递减的，因此 $L(\theta)$ 在 $\theta$ 越大时越小。因此，为了使 $L(\theta)$ 最大，我们需要选择 $\theta$ 的最大可能值，即 $\theta = \min\{X_1, X_2, \cdots, X_n\}$。