题目

2.某课题组抽样调查某地25名20岁女子身高均数为157.3cm，标准差为4.9cm；体重均数为53.7kg，标准差为4.9kg。欲了解该地20岁女子体重的总体均数，该如何分析?此时，若另一研究小组也在该地随机抽取了100名25名女子的体重资料，得到体重均数为53.9kg，标准差为5.0kg。请大家也试着利用该样本来估计该地20岁女子体重的总体均数，并比较两次抽样调查所估计的总体参数有何不同?为什么?

题目解答

答案

1. **计算标准误** 第一次抽样：标准误 $= \frac{4.9}{\sqrt{25}} = 0.98$ kg 第二次抽样：标准误 $= \frac{5.0}{\sqrt{100}} = 0.5$ kg 2. **构建95%置信区间** 使用 t 分布（小样本）或近似 z 分布（大样本）： - **第一次抽样**（n=25，t 值≈2.064）： \[ 53.7 \pm 2.064 \times 0.98 \approx (51.68, 55.72) \text{ kg} \] - **第二次抽样**（n=100，t 值≈1.984）： \[ 53.9 \pm 1.984 \times 0.5 \approx (52.91, 54.89) \text{ kg} \] 3. **比较结果** 第二次抽样区间更窄，表明估计更精确（样本量大）。 \[ \boxed{(51.68, 55.72) \text{ kg} \text{ 和 } (52.91, 54.89) \text{ kg}} \]

解析

考查要点：本题主要考查总体均数的区间估计，涉及标准误计算、置信区间构建以及样本量对估计精度的影响。

解题核心思路：

标准误：反映样本均数的波动程度，计算公式为 $\text{标准误} = \frac{s}{\sqrt{n}}$。
置信区间：根据样本量大小选择t分布（小样本，n<30）或z分布（大样本，n≥30），公式为 $\text{均数} \pm t \times \text{标准误}$。
比较结果：样本量越大，标准误越小，置信区间越窄，估计越精确。

破题关键：明确区分小样本与大样本的分布选择，理解标准误与样本量的关系。

第一次抽样（n=25）

计算标准误

$\text{标准误} = \frac{4.9}{\sqrt{25}} = 0.98 \, \text{kg}$

构建95%置信区间

自由度：$df = n-1 = 24$，查t表得 $t \approx 2.064$。
区间计算：
$53.7 \pm 2.064 \times 0.98 \approx (51.68, 55.72) \, \text{kg}$

第二次抽样（n=100）

计算标准误

$\text{标准误} = \frac{5.0}{\sqrt{100}} = 0.5 \, \text{kg}$

构建95%置信区间

自由度：$df = n-1 = 99$，t值接近z值，取 $t \approx 1.984$。
区间计算：
$53.9 \pm 1.984 \times 0.5 \approx (52.91, 54.89) \, \text{kg}$

比较结果

区间宽度：第二次区间 $(52.91, 54.89)$ 比第一次 $(51.68, 55.72)$ 更窄。
原因：第二次样本量更大（n=100 vs n=25），标准误更小，估计更精确。