X sim N(mu, sigma^2)，则PX leq mu = ( )。A. (1)/(4)B. (1)/(2)C. (1)/(5)D. (1)/(3)

本题考查正态分布的性质。解题思路是根据正态分布的概率密度函数的对称性来求解$P\{X \leq \mu\}$的值。

正态分布$X \sim N(\mu, \sigma^2)$的概率密度函数为$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu$为均值，$\sigma^2$为方差。正态分布的概率密度函数图像是关于直线$x = \mu$对称的。

根据概率的性质，整个概率空间的概率之和为$1$，即$P\{-\infty < X < +\infty\} = 1$。由于正态分布的对称性，$P\{X \leq \mu\}$和$P\{X \geq \mu\}$所对应的区域关于直线$x = \mu$对称，且这两个区域的概率之和为$1$，即$P\{X \leq \mu\} + P\{X \geq \mu\} = 1$。

又因为正态分布的对称性，$P\{X \leq \mu\} = P\{X \geq \mu\}$。

设$P\{X \leq \mu\} = P\{X \geq \mu\} = p$，则$p + p = 1$，即$2p = 1$，解方程$\begin{equation}2p = 1\end{equation}$可得$p = \frac{1}{2}$，所以$P\{X \leq \mu\} = \frac{1}{2}$。