当所有的观察值y都落在直线y=a+bx上时,则x与y之间的相关系数为( )。(1.0分)A. r=0B. |r|=1C. -1D. r=1

考查要点：本题主要考查相关系数的性质及其与变量间线性关系的关系。

解题核心思路：
相关系数$r$的取值范围是$[-1,1]$，其绝对值大小反映线性关系的紧密程度。当所有数据点严格共线时，线性关系达到完全确定性，此时相关系数的绝对值必为$1$，即$|r|=1$。无论直线斜率为正还是负，只要数据点完全落在直线上，相关系数的绝对值均为$1$。

破题关键点：

• 完全线性关系的判定：所有点均在一条直线上，说明线性关系是完全确定的。
• 相关系数的性质：完全共线时，$|r|=1$，但符号由直线斜率方向决定（斜率为正时$r=1$，斜率为负时$r=-1$）。

当所有观察值$y$都严格落在直线$y = a + bx$上时，变量$x$与$y$之间的关系是完全线性关系。此时：

1. 数据点的离散程度：

   • $y$的取值完全由$x$决定，数据点在直线上无任何偏差。
   • 计算相关系数时，协方差与标准差的关系满足：
     $r = \frac{\text{协方差}(x,y)}{s_x s_y}$
     其中，协方差与标准差的比值在完全共线时达到极值，使得$|r|=1$。

2. 符号的确定：

   • 若直线斜率$b > 0$，则$r=1$（完全正相关）。
   • 若直线斜率$b < 0$，则$r=-1$（完全负相关）。
   • 无论$b$正负，绝对值均为$1$，因此正确答案为$|r|=1$。

排除干扰项：

• 选项A（$r=0$）：仅当无线性关系时成立，与题意矛盾。
• 选项C（$-1：表示线性关系不完全，与题意“完全共线”矛盾。
• 选项D（$r=1$）：仅考虑了正相关的情况，忽略了斜率为负时$r=-1$的可能，因此不全面。