题目
将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于______A. －1．B. 0．C. ．D. 1.
将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于______
A. －1．
B. 0．
C. ．
D. 1.
题目解答
答案
A. －1．
解析
步骤 1：定义随机变量
设随机变量X表示n次投掷中正面向上的次数，随机变量Y表示n次投掷中反面向上的次数。由于硬币只有正反两面，所以X+Y=n。
步骤 2：计算相关系数
相关系数ρ(X,Y)的定义为：
\[ \rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \]
其中，Cov(X,Y)是X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别是X和Y的方差。
步骤 3：计算协方差
由于X+Y=n，所以Y=n-X。因此，X和Y是线性相关的，且相关系数为-1。这是因为当X增加时，Y必然减少，反之亦然，且它们的变化幅度是相同的。
设随机变量X表示n次投掷中正面向上的次数，随机变量Y表示n次投掷中反面向上的次数。由于硬币只有正反两面，所以X+Y=n。
步骤 2：计算相关系数
相关系数ρ(X,Y)的定义为：
\[ \rho(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \]
其中，Cov(X,Y)是X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别是X和Y的方差。
步骤 3：计算协方差
由于X+Y=n，所以Y=n-X。因此，X和Y是线性相关的，且相关系数为-1。这是因为当X增加时，Y必然减少，反之亦然，且它们的变化幅度是相同的。