题目
6.lim_(n to infty) sqrt[n](1+|x|^3n)=____.
6.$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3n}}=$____.
题目解答
答案
当 $n \to \infty$ 时，分析表达式 $\sqrt[n]{1 + |x|^{3n}}$：
1. **情况1：$|x| > 1$**
$|x|^{3n}$ 增长极快，原式近似为 $\sqrt[n]{|x|^{3n}} = |x|^3$。
2. **情况2：$|x| < 1$**
$|x|^{3n} \to 0$，原式近似为 $\sqrt[n]{1} = 1$。
3. **情况3：$|x| = 1$**
$|x|^{3n} = 1$，原式为 $\sqrt[n]{2} \to 1$。
**答案：**
\[
\boxed{\begin{cases}
|x|^3 & \text{若 } |x| > 1 \\
1 & \text{若 } |x| \le 1
\end{cases}}
\]
或者
\[
\boxed{\begin{cases}
x^3 & \text{若 } x > 1 \\
-x^3 & \text{若 } x < -1 \\
1 & \text{若 } -1 \le x \le 1
\end{cases}}
\]
解析
步骤 1：分析 $|x| > 1$ 的情况
当 $|x| > 1$ 时，$|x|^{3n}$ 随着 $n$ 的增加而迅速增长，因此 $\sqrt[n]{1 + |x|^{3n}}$ 主要由 $|x|^{3n}$ 决定，可以近似为 $\sqrt[n]{|x|^{3n}} = |x|^3$。
步骤 2：分析 $|x| < 1$ 的情况
当 $|x| < 1$ 时，$|x|^{3n}$ 随着 $n$ 的增加而迅速趋近于 0，因此 $\sqrt[n]{1 + |x|^{3n}}$ 主要由 1 决定，可以近似为 $\sqrt[n]{1} = 1$。
步骤 3：分析 $|x| = 1$ 的情况
当 $|x| = 1$ 时，$|x|^{3n} = 1$，因此 $\sqrt[n]{1 + |x|^{3n}} = \sqrt[n]{2}$，随着 $n$ 的增加，$\sqrt[n]{2}$ 趋近于 1。
当 $|x| > 1$ 时，$|x|^{3n}$ 随着 $n$ 的增加而迅速增长，因此 $\sqrt[n]{1 + |x|^{3n}}$ 主要由 $|x|^{3n}$ 决定，可以近似为 $\sqrt[n]{|x|^{3n}} = |x|^3$。
步骤 2：分析 $|x| < 1$ 的情况
当 $|x| < 1$ 时，$|x|^{3n}$ 随着 $n$ 的增加而迅速趋近于 0，因此 $\sqrt[n]{1 + |x|^{3n}}$ 主要由 1 决定，可以近似为 $\sqrt[n]{1} = 1$。
步骤 3：分析 $|x| = 1$ 的情况
当 $|x| = 1$ 时，$|x|^{3n} = 1$，因此 $\sqrt[n]{1 + |x|^{3n}} = \sqrt[n]{2}$，随着 $n$ 的增加，$\sqrt[n]{2}$ 趋近于 1。