题目
设 A 为 n 阶方阵，且 |A| neq 0，则()。 A. 当 (A | B) 经有限次初等变换变为 (E | B) 时，有 A^-1 = BB. 由 AX = BA，可得 X = BC. A 经初等列变换可变为单位矩阵 ED. 以上A. 、(B)、C. 都不对
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $|A| \neq 0$，则()。
- A. 当 $(A | B)$ 经有限次初等变换变为 $(E | B)$ 时，有 $A^{-1} = B$
- B. 由 $AX = BA$，可得 $X = B$
- C. $A$ 经初等列变换可变为单位矩阵 $E$
- D. 以上
- A. 、(B)、
- C. 都不对
题目解答
答案
为了确定正确答案，让我们逐步分析每个选项。
**选项A: 当$\left(\begin{matrix}A&B\end{matrix}\right)$经有限次初等变换变为$\left(\begin{matrix}E&B\end{matrix}\right)$时,有$A^{-1}=B$.**
这个陈述是不正确的。如果$\left(\begin{matrix}A&B\end{matrix}\right)$经有限次初等变换变为$\left(\begin{matrix}E&B\end{matrix}\right)$，这意味着我们对$A$执行了行操作，同时对$B$执行了相同的行操作。然而，这并不一定意味着$B$是$A$的逆。为了找到$A$的逆，我们需要将$\left(\begin{matrix}A&E\end{matrix}\right)$转换为$\left(\begin{matrix}E&A^{-1}\end{matrix}\right)$。
**选项B: 由$AX=BA$，可得$X=B$.**
这个陈述是不正确的。为了从$AX=BA$中解出$X$，我们需要对等式的两边右乘以$A^{-1}$：
\[X = BA A^{-1} = B.\]
然而，这只有在$A$和$B$可交换，即$BA = AB$时才成立。没有这个条件，我们不能得出$X = B$的结论。
**选项C: A经初等列变换可变为单位矩阵E.**
这个陈述是正确的。由于$|A| \neq 0$，矩阵$A$是可逆的。可逆矩阵可以通过初等行变换或初等列变换转换为单位矩阵。因此，$A$经初等列变换可变为单位矩阵$E$。
**选项D: 以上(A)、(B)、(C)都不对.**
由于选项C是正确的，选项D是不正确的。
因此，正确答案是$\boxed{C}$。
解析
步骤 1：分析选项A
当$(A | B)$经有限次初等变换变为$(E | B)$时，这表示我们对$A$执行了行变换，同时对$B$执行了相同的行变换。然而，这并不意味着$B$是$A$的逆。为了找到$A$的逆，我们需要将$(A | E)$转换为$(E | A^{-1})$。因此，选项A是不正确的。
步骤 2：分析选项B
由$AX = BA$，可得$X = B$。为了从$AX = BA$中解出$X$，我们需要对等式的两边右乘以$A^{-1}$：\[X = BA A^{-1} = B.\]然而，这只有在$A$和$B$可交换，即$BA = AB$时才成立。没有这个条件，我们不能得出$X = B$的结论。因此，选项B是不正确的。
步骤 3：分析选项C
$A$经初等列变换可变为单位矩阵$E$。由于$|A| \neq 0$，矩阵$A$是可逆的。可逆矩阵可以通过初等行变换或初等列变换转换为单位矩阵。因此，$A$经初等列变换可变为单位矩阵$E$。因此，选项C是正确的。
步骤 4：分析选项D
由于选项C是正确的，选项D是不正确的。
当$(A | B)$经有限次初等变换变为$(E | B)$时，这表示我们对$A$执行了行变换，同时对$B$执行了相同的行变换。然而，这并不意味着$B$是$A$的逆。为了找到$A$的逆，我们需要将$(A | E)$转换为$(E | A^{-1})$。因此，选项A是不正确的。
步骤 2：分析选项B
由$AX = BA$，可得$X = B$。为了从$AX = BA$中解出$X$，我们需要对等式的两边右乘以$A^{-1}$：\[X = BA A^{-1} = B.\]然而，这只有在$A$和$B$可交换，即$BA = AB$时才成立。没有这个条件，我们不能得出$X = B$的结论。因此，选项B是不正确的。
步骤 3：分析选项C
$A$经初等列变换可变为单位矩阵$E$。由于$|A| \neq 0$，矩阵$A$是可逆的。可逆矩阵可以通过初等行变换或初等列变换转换为单位矩阵。因此，$A$经初等列变换可变为单位矩阵$E$。因此，选项C是正确的。
步骤 4：分析选项D
由于选项C是正确的，选项D是不正确的。