1 已知某炼铁厂的铁水含碳量(单位：%)在正常情况下服从N(4.55,(0.108)^2).现在测了5炉铁水，其含碳量分别如下：4.28，4.40，4.42，4.35，4.37.问：若标准差不改变，总体均值有无显著的变化(取alpha=0.05)?

考查要点：本题主要考查总体均值的双侧假设检验，要求在已知总体标准差的情况下，判断样本均值的变化是否显著。

解题核心思路：

1. 确定检验类型：题目要求判断均值是否有“显著变化”，属于双侧检验。
2. 构造检验统计量：由于总体标准差已知且总体服从正态分布，使用Z检验统计量。
3. 计算临界值：根据显著性水平$\alpha=0.05$，确定双侧临界值$u_{0.025}=1.96$。
4. 比较统计量与临界值：若检验统计量的绝对值超过临界值，则拒绝原假设。

破题关键点：

• 正确计算样本均值：需准确求和并除以样本量。
• 公式代入无误：注意分母为$\sigma/\sqrt{n}$，分子为样本均值与原假设均值的差。
• 判断拒绝域：双侧检验需比较绝对值。

步骤1：设定假设

• 原假设：$H_0: \mu = \mu_0 = 4.55$（总体均值无显著变化）
• 备择假设：$H_1: \mu \neq 4.55$（总体均值有显著变化）

步骤2：计算样本均值

样本数据：$4.28, 4.40, 4.42, 4.35, 4.37$
样本均值：
$\overline{X} = \frac{4.28 + 4.40 + 4.42 + 4.35 + 4.37}{5} = \frac{21.82}{5} = 4.364$

步骤3：构造Z检验统计量

公式：
$U = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{4.364 - 4.55}{0.108 / \sqrt{5}} \approx \frac{-0.186}{0.0483} \approx -3.85$

步骤4：确定临界值与拒绝域

• 显著性水平$\alpha=0.05$，双侧临界值$u_{0.025}=1.96$。
• 拒绝域：$|U| > 1.96$。

步骤5：决策

计算得$|U|=3.85 > 1.96$，落入拒绝域，拒绝原假设，结论：总体均值有显著变化。