题目
已知向量a=3i-j-2k ,a=3i-j-2k ，设a=3i-j-2k 与 a=3i-j-2k的 夹角 a=3i-j-2k ，则以下判断正确的有（） a=3i-j-2ka=3i-j-2ka=3i-j-2ka=3i-j-2k
已知向量
,
，设
与 
的 夹角 
，则以下判断正确的有（）
题目解答
答案
∵，，
∴
，
，
∴
，
，
，
，
∴本题答案为C，D。
解析
步骤 1：计算向量$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$的点积
根据向量$\overrightarrow {a}=3\overrightarrow {i}-\overrightarrow {j}-2k$和$\overrightarrow {b}=i+2j-k$，我们可以计算它们的点积$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}$。点积的计算公式为$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，其中$a_1,a_2,a_3$和$b_1,b_2,b_3$分别是向量$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$的分量。因此，$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=3\times 1+(-1)\times 2+(-2)\times (-1)=3-2+2=3$。
步骤 2：计算$2\overrightarrow {a}\cdot 3\overrightarrow {b}$
根据点积的性质，$2\overrightarrow {a}\cdot 3\overrightarrow {b}=6(\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b})=6\times 3=18$。
步骤 3：计算$\overrightarrow {a}\times (-2\overrightarrow {b})$
向量$\overrightarrow {a}\times (-2\overrightarrow {b})$的计算需要使用向量叉乘的定义。向量$\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}$的分量为$(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$。因此，$\overrightarrow {a}\times (-2\overrightarrow {b})=(-10, -2, -14)$。
步骤 4：计算$\cos \theta$
向量$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$的夹角$\theta$的余弦值$\cos \theta$可以通过公式$\cos \theta =\dfrac {\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}}{|\overrightarrow {a}||\overrightarrow {b}|}$计算。其中，$|\overrightarrow {a}|$和$|\overrightarrow {b}|$分别是向量$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$的模。因此，$\cos \theta =\dfrac {3}{\sqrt {14}\sqrt {6}}=\dfrac {\sqrt {21}}{14}$。
根据向量$\overrightarrow {a}=3\overrightarrow {i}-\overrightarrow {j}-2k$和$\overrightarrow {b}=i+2j-k$，我们可以计算它们的点积$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}$。点积的计算公式为$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$，其中$a_1,a_2,a_3$和$b_1,b_2,b_3$分别是向量$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$的分量。因此，$\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}=3\times 1+(-1)\times 2+(-2)\times (-1)=3-2+2=3$。
步骤 2：计算$2\overrightarrow {a}\cdot 3\overrightarrow {b}$
根据点积的性质，$2\overrightarrow {a}\cdot 3\overrightarrow {b}=6(\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b})=6\times 3=18$。
步骤 3：计算$\overrightarrow {a}\times (-2\overrightarrow {b})$
向量$\overrightarrow {a}\times (-2\overrightarrow {b})$的计算需要使用向量叉乘的定义。向量$\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}$的分量为$(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$。因此，$\overrightarrow {a}\times (-2\overrightarrow {b})=(-10, -2, -14)$。
步骤 4：计算$\cos \theta$
向量$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$的夹角$\theta$的余弦值$\cos \theta$可以通过公式$\cos \theta =\dfrac {\overrightarrow {a}\cdot \overrightarrow {b}}{|\overrightarrow {a}||\overrightarrow {b}|}$计算。其中，$|\overrightarrow {a}|$和$|\overrightarrow {b}|$分别是向量$\overrightarrow {a}$和$\overrightarrow {b}$的模。因此，$\cos \theta =\dfrac {3}{\sqrt {14}\sqrt {6}}=\dfrac {\sqrt {21}}{14}$。