题目

设X1，X2是取自总体N(μ，1)(μ未知)的一个样本．试证如下三个估计量都是μ的无偏估计量，并确定最有效的一个： hat (mu )_(1)=dfrac (2)(3)(X)_(1)+dfrac (1)(3)(X)_(2) ,-|||-(hat {mu )}_(2)=dfrac (1)(4)(X)_(1)+dfrac (3)(4)(X)_(2) ,-|||-(hat {mu )}_(3)=dfrac (1)(2)(X)_(1)+dfrac (1)(2)(X)_(2) ,

设X1，X2是取自总体N(μ，1)(μ未知)的一个样本．试证如下三个估计量都是μ的无偏估计量，并确定最有效的一个：
   
 

题目解答

答案

[解]E(Xi)=μ，D(Xi)=1(i=1，2)，于是
   
   故均为μ的无偏估计．
   因为X1与X2独立，
   所以
   比较可知是μ的最有效估计量．

解析

步骤 1：计算每个估计量的期望值
由于X_1和X_2是取自总体N(μ，1)的样本，因此E(X_1) = E(X_2) = μ，D(X_1) = D(X_2) = 1。我们首先计算每个估计量的期望值，以验证它们是否为μ的无偏估计量。
步骤 2：计算每个估计量的方差
接下来，我们计算每个估计量的方差，以确定哪个估计量最有效。由于X_1和X_2是独立的，因此它们的协方差为0，我们可以直接计算方差。
步骤 3：比较方差以确定最有效的估计量
最后，我们比较每个估计量的方差，以确定哪个估计量最有效。方差越小，估计量越有效。