题目
1.已知随机变量X和Y相互独立,则下列-|||-选项错误的是-|||-△ .(X,Y)=0-|||-B .(rho )_(XYY)=1-|||-) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-|||-D. E(XY)=E(X)E(Y)
题目解答
答案
B. ρ_{X,Y}=1
解析
步骤 1：理解随机变量的独立性
随机变量X和Y相互独立意味着它们的联合概率分布可以表示为各自边缘概率分布的乘积，即P(X,Y) = P(X)P(Y)。这进一步意味着X和Y的取值之间没有依赖关系。
步骤 2：分析协方差
协方差Cov(X,Y)定义为E[(X-E[X])(Y-E[Y])]。当X和Y相互独立时，E[XY] = E[X]E[Y]，因此Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0。所以选项A正确。
步骤 3：分析相关系数
相关系数${\rho }_{XY}$定义为Cov(X,Y)除以标准差的乘积，即${\rho }_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$。由于Cov(X,Y) = 0，所以${\rho }_{XY} = 0$。因此选项B错误，因为${\rho }_{XY} = 1$表示完全正相关，而独立变量的相关系数为0。
步骤 4：分析方差
方差D(X-Y)可以表示为D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。由于X和Y相互独立，Cov(X,Y) = 0，所以D(X-Y) = D(X) + D(Y)。因此选项C正确。
步骤 5：分析期望
期望E(XY)可以表示为E[X]E[Y]，因为X和Y相互独立。因此选项D正确。
随机变量X和Y相互独立意味着它们的联合概率分布可以表示为各自边缘概率分布的乘积，即P(X,Y) = P(X)P(Y)。这进一步意味着X和Y的取值之间没有依赖关系。
步骤 2：分析协方差
协方差Cov(X,Y)定义为E[(X-E[X])(Y-E[Y])]。当X和Y相互独立时，E[XY] = E[X]E[Y]，因此Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0。所以选项A正确。
步骤 3：分析相关系数
相关系数${\rho }_{XY}$定义为Cov(X,Y)除以标准差的乘积，即${\rho }_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$。由于Cov(X,Y) = 0，所以${\rho }_{XY} = 0$。因此选项B错误，因为${\rho }_{XY} = 1$表示完全正相关，而独立变量的相关系数为0。
步骤 4：分析方差
方差D(X-Y)可以表示为D(X) + D(Y) - 2Cov(X,Y)。由于X和Y相互独立，Cov(X,Y) = 0，所以D(X-Y) = D(X) + D(Y)。因此选项C正确。
步骤 5：分析期望
期望E(XY)可以表示为E[X]E[Y]，因为X和Y相互独立。因此选项D正确。