21.(本题满分12分)求微分方程x^2y''-2xy'-(y')^2=0(x>2)满足条件y|_(x=3)=(1)/(2)，y'|_(x=3)=-9的解.
题目解答
答案
设 $ p = y' $，则 $ y'' = \frac{dp}{dx} $。代入原方程得：
$x^2 \frac{dp}{dx} - 2xp - p^2 = 0$
分离变量并积分：
$\frac{dp}{p^2 + 2xp} = \frac{dx}{x^2}$
令 $ p = vx $，则 $ \frac{dp}{dx} = v + x \frac{dv}{dx} $，代入得：
$v + x \frac{dv}{dx} = 2v + v^2 \implies x \frac{dv}{dx} = v^2 + v$
分离变量积分：
$\int \frac{dv}{v(v+1)} = \int \frac{dx}{x} \implies \ln \left| \frac{v}{v+1} \right| = \ln |x| + C$
解得 $ v = \frac{C_1 x}{1 - C_1 x} $，故 $ p = \frac{C_1 x^2}{1 - C_1 x} $。
由初始条件 $ y'|_{x=3} = -9 $，得 $ C_1 = \frac{1}{2} $，则：
$y' = \frac{x^2}{2 - x}$
积分得：
$y = \int \frac{x^2}{2 - x} \, dx = -\frac{x^2}{2} - 2x - 4 \ln (x - 2) + C$
由 $ y|_{x=3} = \frac{1}{2} $，得 $ C = 11 $。
答案：
$\boxed{y = 11 - 2x - \frac{x^2}{2} - 4 \ln (x - 2)}$
解析
本题考查可降阶的二阶微分方程的求解，解题思路是通过变量代换将二阶微分方程降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，最后根据初始条件确定常数。
- 降阶：
设$p = y'$，则$y''=\frac{dp}{dx}$，将其代入原方程$x^{2}y'' - 2xy'-(y')^{2}=0$，得到$x^{2}\frac{dp}{dx}-2xp - p^{2}=0$。
这是一个关于$p$和$x$的一阶微分方程，可变形为$\frac{dp}{p^{2}+2xp}=\frac{dx}{x^{2}}$。 - 再次变量代换：
令$p = vx$，则$\frac{dp}{dx}=v + x\frac{dv}{dx}$，代入$x^{2}\frac{dp}{dx}-2xp - p^{2}=0$可得：
$x^{2}(v + x\frac{dv}{dx})-2x\cdot vx-(vx)^{2}=0$，
展开式子得$x^{2}v+x^{3}\frac{dv}{dx}-2x^{2}v - v^{2}x^{2}=0$，
两边同时除以$x^{2}$（因为$x\gt2$，$x^{2}\neq0$），得到$v + x\frac{dv}{dx}-2v - v^{2}=0$，
整理得$x\frac{dv}{dx}=v^{2}+v$。 - 分离变量并积分：
对$x\frac{dv}{dx}=v^{2}+v$进行分离变量，得到$\frac{dv}{v(v + 1)}=\frac{dx}{x}$。
对$\frac{1}{v(v + 1)}$进行部分分式分解：$\frac{1}{v(v + 1)}=\frac{1}{v}-\frac{1}{v + 1}$，
则$\int(\frac{1}{v}-\frac{1}{v + 1})dv=\int\frac{dx}{x}$，
积分得$\ln|v|-\ln|v + 1|=\ln|x|+C$，
根据对数运算法则$\ln a-\ln b=\ln\frac{a}{b}$，可得$\ln|\frac{v}{v + 1}|=\ln|x|+C$，
即$\frac{v}{v + 1}=C_1x$（$C_1 = \pm e^{C}$），
解关于$v$的方程：
$v=(v + 1)C_1x$，
$v = C_1xv+C_1x$，
$v - C_1xv=C_1x$，
$v(1 - C_1x)=C_1x$，
所以$v=\frac{C_1x}{1 - C_1x}$。
因为$p = vx$，所以$p=\frac{C_1x^{2}}{1 - C_1x}$。 - 确定$C_1$的值：
已知$y'|_{x = 3}=-9$，即$p|_{x = 3}=-9$，代入$p=\frac{C_1x^{2}}{1 - C_1x}$可得：
$-9=\frac{C_1\times3^{2}}{1 - C_1\times3}$，
$-9(1 - 3C_1)=9C_1$，
$-9 + 27C_1=9C_1$，
$27C_1-9C_1=9$，
$18C_1=9$，
解得$C_1=\frac{1}{2}$。
所以$y'=\frac{\frac{1}{2}x^{2}}{1-\frac{1}{2}x}=\frac{x^{2}}{2 - x}$。 - 求$y$的表达式：
对$y'=\frac{x^{2}}{2 - x}$进行积分求$y$，先将$\frac{x^{2}}{2 - x}$变形为$\frac{x^{2}-4 + 4}{2 - x}=\frac{(x + 2)(x - 2)+4}{2 - x}=-(x + 2)+\frac{4}{2 - x}$，
则$y=\int\frac{x^{2}}{2 - x}dx=\int(-(x + 2)+\frac{4}{2 - x})dx$，
根据积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n + 1}}{n+1}+C(n\neq - 1)$和$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C$，可得：
$y=-\int(x + 2)dx+\int\frac{4}{2 - x}dx$，
$y=-\left(\frac{x^{2}}{2}+2x\right)-4\ln(x - 2)+C$（因为$x\gt2$，所以$\ln|2 - x|=\ln(x - 2)$）。 - 确定$C$的值：
已知$y|_{x = 3}=\frac{1}{2}$，代入$y=-\frac{x^{2}}{2}-2x-4\ln(x - 2)+C$可得：
$\frac{1}{2}=-\frac{3^{2}}{2}-2\times3-4\ln(3 - 2)+C$，
$\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}-6-4\times0+C$，
$\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}-6+C$，
$\frac{1}{2}=-\frac{9 + 12}{2}+C$，
$\frac{1}{2}=-\frac{21}{2}+C$，
$C=\frac{1}{2}+\frac{21}{2}=11$。