在小样本情况下，如果正态总体 σ 未知，样本均值服从自由度为（ ） A. n 的 t 分布 B. n-1 的 z 分布 C. n 的 z 分布 D. n-1 的 t 分布

考查要点：本题主要考查小样本情况下，正态总体均值的抽样分布，特别是当总体方差未知时的处理方法。

解题核心思路：

1. 区分z分布与t分布的应用场景：当总体方差σ²已知时，样本均值的抽样分布服从z分布；当σ²未知时，需要用样本方差s²代替，此时抽样分布服从t分布。
2. 自由度的确定：样本方差s²的计算中，自由度为n-1（因为样本均值会消耗一个自由度），因此t分布的自由度也为n-1。

破题关键点：

• 明确题目中σ未知，排除z分布选项（B、C）。
• 理解t分布的自由度为n-1，而非n（排除A）。

在统计推断中，当总体服从正态分布且方差σ²未知时，样本均值的分布推导过程如下：

1. 构造t统计量：
   样本均值$\bar{X}$的分布与总体均值μ的关系为：
   $t = \frac{\bar{X} - \mu}{s/\sqrt{n}}$
   其中，$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$是样本方差，自由度为n-1。

2. t分布的自由度：
   由于样本方差s²的计算中使用了n-1个独立观测值（均值$\bar{X}$已消耗一个自由度），因此t分布的自由度为n-1。

3. 选项分析：

   • A：自由度为n的t分布，错误（自由度应为n-1）。
   • B、C：z分布，错误（σ未知时不能使用z分布）。
   • D：自由度为n-1的t分布，正确。