题目
八、(10分)设_(1),(x)_(2),... ,(X)_(n)为来自总体X的一个样本,且X的密度函数_(1),(x)_(2),... ,(X)_(n),其中未知参数_(1),(x)_(2),... ,(X)_(n)。(1)求参数_(1),(x)_(2),... ,(X)_(n)的矩估计量;(2)求参数_(1),(x)_(2),... ,(X)_(n)的极大似然估计量。
八、(10分)设
为来自总体X的一个样本,且X的密度函数
,其中未知参数
。(1)求参数
的矩估计量;(2)求参数的极大似然估计量。
为来自总体X的一个样本,且X的密度函数,其中未知参数。(1)求参数的矩估计量;(2)求参数的极大似然估计量。题目解答
答案
解:(1)
,
5分
, 5分(2)样本似然函数为 
,
,令
,解得 
,所以,
的极大似然估计为 
10分
,解得 ,所以,的极大似然估计为 10分解析
步骤 1：求参数的矩估计量
矩估计法是利用样本矩来估计总体矩的方法。对于给定的总体分布，其均值和方差等矩是未知参数的函数。通过求解这些函数，可以得到未知参数的估计值。对于指数分布，其均值为$1/\theta$。因此，样本均值$\overline{X}$可以作为$1/\theta$的估计量，从而得到$\theta$的矩估计量为$\hat{\theta} = 1/\overline{X}$。
步骤 2：求参数的极大似然估计量
极大似然估计法是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于给定的样本，似然函数是参数的函数，其值表示在给定参数值下观察到样本的概率。对于指数分布，似然函数为$L(\theta) = \theta^n e^{-\theta \sum_{i=1}^{n} x_i}$。对似然函数取对数，得到对数似然函数$\ln L(\theta) = n \ln \theta - \theta \sum_{i=1}^{n} x_i$。对对数似然函数求导，得到$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^{n} x_i$。令导数等于0，解得$\theta$的极大似然估计量为$\hat{\theta} = 1/\overline{X}$。
矩估计法是利用样本矩来估计总体矩的方法。对于给定的总体分布，其均值和方差等矩是未知参数的函数。通过求解这些函数，可以得到未知参数的估计值。对于指数分布，其均值为$1/\theta$。因此，样本均值$\overline{X}$可以作为$1/\theta$的估计量，从而得到$\theta$的矩估计量为$\hat{\theta} = 1/\overline{X}$。
步骤 2：求参数的极大似然估计量
极大似然估计法是通过最大化似然函数来估计参数的方法。对于给定的样本，似然函数是参数的函数，其值表示在给定参数值下观察到样本的概率。对于指数分布，似然函数为$L(\theta) = \theta^n e^{-\theta \sum_{i=1}^{n} x_i}$。对似然函数取对数，得到对数似然函数$\ln L(\theta) = n \ln \theta - \theta \sum_{i=1}^{n} x_i$。对对数似然函数求导，得到$\frac{d}{d\theta} \ln L(\theta) = \frac{n}{\theta} - \sum_{i=1}^{n} x_i$。令导数等于0，解得$\theta$的极大似然估计量为$\hat{\theta} = 1/\overline{X}$。