题目
设随机变量 X sim N(0,1), Y sim chi^2(n), 且 X 与 Y 相互独立, 则 (X)/(sqrt(Y)) sqrt(n) 服从分布().A. N(0,1)B. chi^2(n-1)C. t(n)D. F(1,n)
设随机变量 $X \sim N(0,1)$, $Y \sim \chi^2(n)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 则 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 服从分布().
A. $N(0,1)$
B. $\chi^2(n-1)$
C. $t(n)$
D. $F(1,n)$
题目解答
答案
C. $t(n)$
解析
步骤 1：回顾 $t$-分布的定义
$t$-分布的定义是：如果随机变量 $T$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$-分布，记为 $T \sim t(n)$，则 $T$ 可以表示为：\[ T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}} \] 其中 $Z \sim N(0,1)$ 和 $V \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 与 $V$ 相互独立。
步骤 2：将 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 与 $t$-分布的定义形式对比
已知 $X \sim N(0,1)$ 和 $Y \sim \chi^2(n)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。我们有：\[ \frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n} = \frac{X \sqrt{n}}{\sqrt{Y}} \] 这与 $t$-分布的定义形式一致，其中 $Z = X$ 且 $V = Y$。
步骤 3：确定 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 的分布
由于 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 的形式与 $t$-分布的定义形式一致，因此 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$-分布，即 $t(n)$。
$t$-分布的定义是：如果随机变量 $T$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$-分布，记为 $T \sim t(n)$，则 $T$ 可以表示为：\[ T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}} \] 其中 $Z \sim N(0,1)$ 和 $V \sim \chi^2(n)$，且 $Z$ 与 $V$ 相互独立。
步骤 2：将 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 与 $t$-分布的定义形式对比
已知 $X \sim N(0,1)$ 和 $Y \sim \chi^2(n)$，且 $X$ 与 $Y$ 相互独立。我们有：\[ \frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n} = \frac{X \sqrt{n}}{\sqrt{Y}} \] 这与 $t$-分布的定义形式一致，其中 $Z = X$ 且 $V = Y$。
步骤 3：确定 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 的分布
由于 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 的形式与 $t$-分布的定义形式一致，因此 $\frac{X}{\sqrt{Y}} \sqrt{n}$ 服从自由度为 $n$ 的 $t$-分布，即 $t(n)$。