例2.13 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为-|||-_(x)(t)=100(e)^-10tt+10cos 10t+50-|||-求X(t)的均值、方差和平均功率。

考查要点：本题主要考查平稳随机过程的自相关函数与均值、方差、平均功率的关系，以及如何处理自相关函数中的周期分量。

解题核心思路：

1. 平均功率直接由自相关函数在$t=0$处的值确定，即$P = R_X(0)$。
2. 均值的平方是自相关函数在$t \to \infty$时的极限值，但需注意周期分量的平均值为零，因此只需保留非周期的常数项。
3. 方差通过公式$\sigma_X^2 = R_X(0) - m_X^2$计算。

破题关键点：

• 周期分量的处理：周期项（如$\cos 10t$）的时间平均为零，因此均值的计算需忽略周期分量，仅保留常数项。
• 自相关函数的分解：将自相关函数分解为指数衰减项、周期项和常数项，分别分析其对均值和功率的贡献。

1. 平均功率计算

根据定义，平均功率为：
$P = E[X^2(t)] = R_X(0)$
将$t=0$代入自相关函数：
$R_X(0) = 100e^{-10 \cdot 0} + 10\cos(0) + 50 = 100 \cdot 1 + 10 \cdot 1 + 50 = 160$
因此，平均功率为$160$。

2. 均值计算

均值的平方$m_X^2$是自相关函数在$t \to \infty$时的极限值。当$t \to \infty$时：

• 指数项$100e^{-10|t|}$趋近于$0$；
• 周期项$10\cos 10t$的平均值为$0$；
• 常数项$50$保留。

因此：
$m_X^2 = \lim_{t \to \infty} R_X(t) = 50 \quad \Rightarrow \quad m_X = \pm \sqrt{50}$

3. 方差计算

方差公式为：
$\sigma_X^2 = R_X(0) - m_X^2 = 160 - 50 = 110$