题目

32. (1.1分) 已知总体X服从Poisson分布P(θ)，X_(1),X_(2),X_(3)为取自总体的样本，当c=()时，T=(1)/(3)X_(1)+(1)/(4)X_(2)+CX_(3)是θ的无偏估计量

32. (1.1分) 已知总体X服从Poisson分布P(θ)，$X_{1},X_{2},X_{3}$为取自总体的样本，当c=()时，$T=\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+CX_{3}$是θ的无偏估计量

题目解答

答案

为了确定使 $ T = \frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + cX_3 $ 成为参数 $\theta$ 的无偏估计量的 $ c $ 的值，我们需要确保 $ T $ 的期望值等于 $\theta$。由于 $ X_1, X_2, $ 和 $ X_3 $ 是来自泊松分布 $ P(\theta) $ 的样本，每个 $ X_i $ 的期望值为 $\theta$。因此，我们可以按如下方式计算 $ T $ 的期望值： \[ E(T) = E\left(\frac{1}{3}X_1 + \frac{1}{4}X_2 + cX_3\right) = \frac{1}{3}E(X_1) + \frac{1}{4}E(X_2) + cE(X_3) \] 由于 $ E(X_1) = E(X_2) = E(X_3) = \theta $，我们将这些值代入方程： \[ E(T) = \frac{1}{3}\theta + \frac{1}{4}\theta + c\theta \] 我们可以从方程的右边提取 $\theta$： \[ E(T) = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + c\right)\theta \] 为了使 $ T $ 成为 $\theta$ 的无偏估计量，$ T $ 的期望值必须等于 $\theta$。因此，我们需要： \[ \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + c\right)\theta = \theta \] 我们可以将方程的两边除以 $\theta$（假设 $\theta \neq 0$）： \[ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + c = 1 \] 接下来，我们需要找到 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ 的公分母。3和4的最小公倍数是12，所以我们转换这些分数： \[ \frac{1}{3} = \frac{4}{12} \quad \text{和} \quad \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \] 将这些分数相加，我们得到： \[ \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \] 因此，方程变为： \[ \frac{7}{12} + c = 1 \] 为了隔离 $ c $，我们从两边减去 $\frac{7}{12}$： \[ c = 1 - \frac{7}{12} \] 将1转换为分母为12的分数，我们得到： \[ 1 = \frac{12}{12} \] 因此： \[ c = \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12} \] 因此，使 $ T $ 成为 $\theta$ 的无偏估计量的 $ c $ 的值是： \[ \boxed{\frac{5}{12}} \]

解析

本题考查无偏估计量的概念以及泊松分布的期望性质。解题的关键在于利用无偏估计量的定义，即估计量的期望值等于被估计的参数，结合泊松分布的期望公式来求解未知参数 $c$。

  1. 首先明确无偏估计量的定义：若 $T$ 是参数 $\theta$ 的无偏估计量，则 $E(T)=\theta$。
  2. 已知总体 $X$ 服从泊松分布 $P(\theta)$，根据泊松分布的性质，其期望 $E(X)=\theta$。因为 $X_{1},X_{2},X_{3}$ 为取自总体的样本，所以 $E(X_{1}) = E(X_{2}) = E(X_{3}) = \theta$。
  3. 计算 $T=\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+CX_{3}$ 的期望：
    • 根据期望的线性性质 $E(aX + bY)=aE(X)+bE(Y)$（$a,b$ 为常数，$X,Y$ 为随机变量），可得 $E(T)=E\left(\frac{1}{3}X_{1}+\frac{1}{4}X_{2}+CX_{3}\right)=\frac{1}{3}E(X_{1})+\frac{1}{4}E(X_{2})+CE(X_{3})$。
    • 将 $E(X_{1}) = E(X_{2}) = E(X_{3}) = \theta$ 代入上式，得到 $E(T)=\frac{1}{3}\theta+\frac{1}{4}\theta + C\theta$。
    • 提取公因式 $\theta$，则 $E(T)=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+C\right)\theta$。
  4. 因为 $T$ 是 $\theta$ 的无偏估计量，所以 $E(T)=\theta$，即 $\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+C\right)\theta=\theta$。
    • 由于 $\theta\neq0$（泊松分布参数 $\theta>0$），方程两边同时除以 $\theta$，得到 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+C = 1$。
    • 计算 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，先通分，$3$ 和 $4$ 的最小公倍数是 $12$，则 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}$。
    • 所以方程变为 $\frac{7}{12}+C = 1$。
    • 移项可得 $C = 1-\frac{7}{12}$。
    • 将 $1$ 化为分母为 $12$ 的分数，即 $1=\frac{12}{12}$，则 $C=\frac{12}{12}-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}$。