题目
二、设X1,X2,···Xn是来自总体N(0,σ^2)的一个样本,记 _(i)=(X)_(i)-overline (X) .若 sum _(i=1)^n({Y)_(i)}^2 是σ^2的无偏估计,求常-|||-数A.
题目解答
答案
本题主要考查无偏估计的计算。
因为 $A\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 是σ^2的无偏估计，所以 $E(A\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\sigma ^2$
即 $A\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i}^2)=\sigma ^2$
因为 $E({X}_{i}^2)=\sigma ^2$
所以 $A\cdot n\cdot \sigma ^2=\sigma ^2$
所以 $A=\frac{1}{n}$
因为 $A\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2}$ 是σ^2的无偏估计，所以 $E(A\sum _{i=1}^{n}{{X}_{i}}^{2})=\sigma ^2$
即 $A\sum _{i=1}^{n}E({X}_{i}^2)=\sigma ^2$
因为 $E({X}_{i}^2)=\sigma ^2$
所以 $A\cdot n\cdot \sigma ^2=\sigma ^2$
所以 $A=\frac{1}{n}$
解析
步骤 1：定义无偏估计
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即如果 $A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2}$ 是σ^2的无偏估计，那么 $E(A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2})=\sigma ^2$。
步骤 2：计算 $E({Y}_{i}^2)$
由于 ${Y}_{i}={X}_{i}-\overline {X}$，我们首先计算 $E({Y}_{i}^2)$。根据样本均值的性质，$\overline {X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，因此 ${Y}_{i}={X}_{i}-\overline {X}={X}_{i}-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$。由于 ${X}_{i}$ 是来自总体N(0,σ^2)的样本，所以 $E({X}_{i})=0$，$Var({X}_{i})=\sigma ^2$。因此，$E({Y}_{i}^2)=E(({X}_{i}-\overline {X})^2)=E({X}_{i}^2)-2E({X}_{i}\overline {X})+E(\overline {X}^2)$。由于 $E({X}_{i})=0$，$E({X}_{i}\overline {X})=0$，$E(\overline {X}^2)=\frac{\sigma ^2}{n}$，所以 $E({Y}_{i}^2)=\sigma ^2-\frac{\sigma ^2}{n}=\frac{(n-1)\sigma ^2}{n}$。
步骤 3：计算 $E(A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2})$
根据步骤 2 的结果，$E(A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2})=A\sum _{i=1}^{n}E({Y}_{i}^2)=A\cdot n\cdot \frac{(n-1)\sigma ^2}{n}=A(n-1)\sigma ^2$。由于 $A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2}$ 是σ^2的无偏估计，所以 $E(A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2})=\sigma ^2$，即 $A(n-1)\sigma ^2=\sigma ^2$。因此，$A=\frac{1}{n-1}$。
无偏估计是指估计量的期望值等于被估计参数的真实值。即如果 $A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2}$ 是σ^2的无偏估计，那么 $E(A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2})=\sigma ^2$。
步骤 2：计算 $E({Y}_{i}^2)$
由于 ${Y}_{i}={X}_{i}-\overline {X}$，我们首先计算 $E({Y}_{i}^2)$。根据样本均值的性质，$\overline {X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$，因此 ${Y}_{i}={X}_{i}-\overline {X}={X}_{i}-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}{X}_{i}$。由于 ${X}_{i}$ 是来自总体N(0,σ^2)的样本，所以 $E({X}_{i})=0$，$Var({X}_{i})=\sigma ^2$。因此，$E({Y}_{i}^2)=E(({X}_{i}-\overline {X})^2)=E({X}_{i}^2)-2E({X}_{i}\overline {X})+E(\overline {X}^2)$。由于 $E({X}_{i})=0$，$E({X}_{i}\overline {X})=0$，$E(\overline {X}^2)=\frac{\sigma ^2}{n}$，所以 $E({Y}_{i}^2)=\sigma ^2-\frac{\sigma ^2}{n}=\frac{(n-1)\sigma ^2}{n}$。
步骤 3：计算 $E(A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2})$
根据步骤 2 的结果，$E(A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2})=A\sum _{i=1}^{n}E({Y}_{i}^2)=A\cdot n\cdot \frac{(n-1)\sigma ^2}{n}=A(n-1)\sigma ^2$。由于 $A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2}$ 是σ^2的无偏估计，所以 $E(A\sum _{i=1}^{n}{{Y}_{i}}^{2})=\sigma ^2$，即 $A(n-1)\sigma ^2=\sigma ^2$。因此，$A=\frac{1}{n-1}$。