3.当 arrow +infty 时,下列变量中为无穷大量的是 () .[山西-|||-A. dfrac (1)(x) B. ln (1+x)-|||-C.sinx D. _(n)^n

考查要点：本题主要考查学生对无穷大量概念的理解，以及常见函数在$x \rightarrow +\infty$时的趋势判断能力。

解题核心思路：

1. 无穷大的定义：当$x$趋向于正无穷时，函数值的绝对值无限增大，即超过任意给定的大数。
2. 逐项分析：
   • 选项A：$\dfrac{1}{x}$随$x$增大趋近于$0$，排除。
   • 选项B：$\ln(1+x)$在$x \rightarrow +\infty$时单调递增且无上界，符合无穷大定义。
   • 选项C：$\sin x$有界（范围$[-1,1]$），排除。
   • 选项D：$e^{-x}$随$x$增大趋近于$0$，排除。

破题关键：

• 明确自然对数函数$\ln x$的单调性和无界性，是本题的核心突破口。

选项分析

A. $\dfrac{1}{x}$

当$x \rightarrow +\infty$时，$\dfrac{1}{x}$的值会无限趋近于$0$，因此不是无穷大量。

B. $\ln(1+x)$

1. 单调性：$\ln(1+x)$在$x > -1$时单调递增。
2. 无界性：当$x \rightarrow +\infty$时，$\ln(1+x)$的值会无限增大，例如：
   • 当$x = e^{100} - 1$时，$\ln(1+x) = 100$；
   • 随着$x$的增大，$\ln(1+x)$可超过任意给定的大数。
     因此，$\ln(1+x)$是无穷大量。

C. $\sin x$

$\sin x$的取值范围恒为$[-1, 1]$，无论$x$多大，其值都不会超过该范围，因此不是无穷大量。

D. $e^{-x}$

当$x \rightarrow +\infty$时，$e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}$趋近于$0$，因此不是无穷大量。