题目
8.(1)设X1,X2,···,,,,则来自概率密度为-|||-(x;theta )= { (1+beta ) ,求β的-|||-最大似然估计值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求θ的最大似然估计
似然函数为 $L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=\prod _{i=1}^{n}\theta {x_i}^{\theta -1}=\theta ^n\prod _{i=1}^{n}{x_i}^{\theta -1}$.
对数似然函数为 $\ln L(\theta )=n\ln \theta +(\theta -1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_i$.
令 $\dfrac {d\ln L(\theta )}{d\theta }=\dfrac {n}{\theta }+\sum _{i=1}^{n}\ln x_i=0$，解得 $\hat {\theta }=-\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}\ln x_i}$.
步骤 2：求 $U={e}^{-1/\theta }$ 的最大似然估计值
由于 $U={e}^{-1/\theta }$ 具有单调反函数，由最大似然估计的不变性知 $U$ 的最大似然估计值为 $\hat {U}={e}^{-1/\hat {\theta }}$.
步骤 3：求 $\theta =P\{ X\gt 2\} $ 的最大似然估计值
已知 $\mu$ 的最大似然估计为 $\hat {\mu }=\overline {x}$，而 $\theta =P\{ X\gt 2\} =1-P\{ X\leqslant 2\} =1-\Phi (2-\mu )$ 具有单调反函数，由最大似然估计的不变性得 $\theta =P\{ X\gt 2\} $ 的最大似然估计值为 $\hat {\theta }=1-\Phi (2-\overline {x})$.
步骤 4：求 $\beta =3\theta -1$ 的最大似然估计值
由最大似然估计的不变性得 $\beta =3\theta -1$ 的最大似然估计值为 $\hat {\beta }=3\hat {\theta }-1=\dfrac {3\overline {x}}{m}-1$.
似然函数为 $L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )=\prod _{i=1}^{n}\theta {x_i}^{\theta -1}=\theta ^n\prod _{i=1}^{n}{x_i}^{\theta -1}$.
对数似然函数为 $\ln L(\theta )=n\ln \theta +(\theta -1)\sum _{i=1}^{n}\ln x_i$.
令 $\dfrac {d\ln L(\theta )}{d\theta }=\dfrac {n}{\theta }+\sum _{i=1}^{n}\ln x_i=0$，解得 $\hat {\theta }=-\dfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}\ln x_i}$.
步骤 2：求 $U={e}^{-1/\theta }$ 的最大似然估计值
由于 $U={e}^{-1/\theta }$ 具有单调反函数，由最大似然估计的不变性知 $U$ 的最大似然估计值为 $\hat {U}={e}^{-1/\hat {\theta }}$.
步骤 3：求 $\theta =P\{ X\gt 2\} $ 的最大似然估计值
已知 $\mu$ 的最大似然估计为 $\hat {\mu }=\overline {x}$，而 $\theta =P\{ X\gt 2\} =1-P\{ X\leqslant 2\} =1-\Phi (2-\mu )$ 具有单调反函数，由最大似然估计的不变性得 $\theta =P\{ X\gt 2\} $ 的最大似然估计值为 $\hat {\theta }=1-\Phi (2-\overline {x})$.
步骤 4：求 $\beta =3\theta -1$ 的最大似然估计值
由最大似然估计的不变性得 $\beta =3\theta -1$ 的最大似然估计值为 $\hat {\beta }=3\hat {\theta }-1=\dfrac {3\overline {x}}{m}-1$.