复数2sqrt(2)+2sqrt(2)i的三角表达式（ ）A. 4(cos (pi)/(3) + i sin (pi)/(3))B. cos (pi)/(4) + i sin (pi)/(4)C. 4(cos (pi)/(4) - i sin (pi)/(4))D. 4(cos (pi)/(4) + i sin (pi)/(4))

考查要点：本题主要考查复数的三角表达式的求解，涉及复数的模和幅角的计算。

解题核心思路：

1. 计算模：利用公式 $r = \sqrt{a^2 + b^2}$，其中 $a$ 和 $b$ 分别为复数的实部和虚部。
2. 确定幅角：通过 $\tan \theta = \frac{b}{a}$ 计算角度，并结合复数所在象限确定具体值。
3. 匹配选项：将计算结果与选项对比，选择模和幅角均正确的选项。

破题关键点：

• 模的计算需准确代入公式，注意平方和开方。
• 幅角的确定需结合复数所在象限，避免角度混淆。

步骤1：计算模
复数 $2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i$ 的模为：
$r = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4$

步骤2：确定幅角
幅角 $\theta$ 满足：
$\tan \theta = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = 1$
由于复数位于第一象限，故 $\theta = \frac{\pi}{4}$。

步骤3：构造三角表达式
三角表达式为：
$r\left(\cos \theta + i \sin \theta\right) = 4\left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)$
对应选项 D。