题目

16.主观题（10分）某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，（单位：小时），计算得到样本平均数为3.32，样本标准差为1.61。要求：分别计算该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%，95%，99%。

题目解答

答案

为了计算该校大学生平均上网时间的置信区间，我们需要使用样本平均数和样本标准差，以及t分布。由于样本量为36，小于100，我们使用t分布而不是正态分布。置信区间的公式为： \[ \bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \left( \frac{s}{\sqrt{n}} \right) \] 其中： - $\bar{x}$ 是样本平均数 - $t_{\alpha/2, n-1}$ 是t分布的临界值，自由度为 $n-1$，显著性水平为 $\alpha/2$ - $s$ 是样本标准差 - $n$ 是样本量已知： - $\bar{x} = 3.32$ - $s = 1.61$ - $n = 36$ ### 1. 置信水平为90% 对于90%的置信水平，$\alpha = 1 - 0.90 = 0.10$，$\alpha/2 = 0.05$。自由度 $n-1 = 35$。从t分布表中，$t_{0.05, 35} \approx 1.690$。置信区间为： \[ 3.32 \pm 1.690 \left( \frac{1.61}{\sqrt{36}} \right) \] \[ 3.32 \pm 1.690 \left( \frac{1.61}{6} \right) \] \[ 3.32 \pm 1.690 \times 0.2683 \] \[ 3.32 \pm 0.453 \] 因此，90%的置信区间为： \[ (3.32 - 0.453, 3.32 + 0.453) = (2.867, 3.773) \] ### 2. 置信水平为95% 对于95%的置信水平，$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$，$\alpha/2 = 0.025$。自由度 $n-1 = 35$。从t分布表中，$t_{0.025, 35} \approx 2.030$。置信区间为： \[ 3.32 \pm 2.030 \left( \frac{1.61}{\sqrt{36}} \right) \] \[ 3.32 \pm 2.030 \left( \frac{1.61}{6} \right) \] \[ 3.32 \pm 2.030 \times 0.2683 \] \[ 3.32 \pm 0.544 \] 因此，95%的置信区间为： \[ (3.32 - 0.544, 3.32 + 0.544) = (2.776, 3.864) \] ### 3. 置信水平为99% 对于99%的置信水平，$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$，$\alpha/2 = 0.005$。自由度 $n-1 = 35$。从t分布表中，$t_{0.005, 35} \approx 2.724$。置信区间为： \[ 3.32 \pm 2.724 \left( \frac{1.61}{\sqrt{36}} \right) \] \[ 3.32 \pm 2.724 \left( \frac{1.61}{6} \right) \] \[ 3.32 \pm 2.724 \times 0.2683 \] \[ 3.32 \pm 0.731 \] 因此，99%的置信区间为： \[ (3.32 - 0.731, 3.32 + 0.731) = (2.589, 4.051) \] ### 最终答案 90%的置信区间为 $(2.867, 3.773)$。 95%的置信区间为 $(2.776, 3.864)$。 99%的置信区间为 $(2.589, 4.051)$。 \[ \boxed{(2.867, 3.773), (2.776, 3.864), (2.589, 4.051)} \]

解析

本题考察总体均值的置信区间估计，由于总体标准差未知且样本量较小（$n=36<100$），需使用t分布构建置信区间，公式为：
$\bar{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$
其中：

$\bar{x}=3.32$（样本均值），$s=1.61$（样本标准差），$n=36$（样本量），自由度$df=n-1=35$。

1. 90%置信水平

$\alpha=1-0.90=0.10$，$\alpha/2=0.05$，查t分布表得$t_{0.05,35}\approx1.690$。
边际误差：$1.690 \cdot \frac{1.61}{\sqrt{36}} = 1.690 \cdot 0.2683\approx0.453$。
置信区间：$3.32 \pm 0.453=(2.867, 3.773)$。

2. 95%置信水平

$\alpha=1-0.95=0.05$，$\alpha/2=0.025$，查t分布表得$t_{0.025,35}\approx2.030$。
边际误差：$2.030 \cdot 0.2683\approx0.544$。
置信区间：$3.32 \pm 0.544=(2.776, 3.864)$。

3. 99%置信水平

$\alpha=1-0.99=0.01$，$\alpha/2=0.005$，查t分布表得$t_{0.005,35}\approx2.724$。
边际误差：$2.724 \cdot 0.2683\approx0.731$。
置信区间：$3.32 \pm 0.731=(2.589, 4.051)$。