题目
设 X_1, X_2, ldots, X_n 是来自正态总体 N(mu_0, sigma^2) 的简单随机样本，其中 mu_0 已知，sigma^2 > 0 未知，overline(X), S^2 分别表示样本均值和样本方差，则参数 sigma^2 的最大似然估计 hat(sigma)^2 为(）.A. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2B. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - mu_0)^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2D. (1)/(n) sum_(i=1)^n (X_i - overline(X))^2
设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu_0, \sigma^2)$ 的简单随机样本，其中 $\mu_0$ 已知，$\sigma^2 > 0$ 未知，$\overline{X}, S^2$ 分别表示样本均值和样本方差，则参数 $\sigma^2$ 的最大似然估计 $\hat{\sigma}^2$ 为(）.
A. $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
B. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2$
C. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$
D. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \overline{X})^2$
题目解答
答案
B. $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2$
解析
步骤 1：写出似然函数
由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu_0, \sigma^2)$ 的简单随机样本，其中 $\mu_0$ 已知，$\sigma^2$ 未知，因此似然函数为：
\[ L(\sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(X_i - \mu_0)^2}{2\sigma^2}\right). \]
步骤 2：取对数似然函数并求导
取对数似然函数：
\[ \ell(\sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2. \]
对 $\sigma^2$ 求导：
\[ \frac{d\ell}{d\sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2. \]
步骤 3：求解最大似然估计
令导数等于零，解得最大似然估计：
\[ -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2 = 0, \]
\[ \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2 = \frac{n}{2\sigma^2}, \]
\[ \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2 = n\sigma^2, \]
\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2. \]
由于 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自正态总体 $N(\mu_0, \sigma^2)$ 的简单随机样本，其中 $\mu_0$ 已知，$\sigma^2$ 未知，因此似然函数为：
\[ L(\sigma^2) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(X_i - \mu_0)^2}{2\sigma^2}\right). \]
步骤 2：取对数似然函数并求导
取对数似然函数：
\[ \ell(\sigma^2) = -\frac{n}{2} \ln(2\pi) - \frac{n}{2} \ln(\sigma^2) - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2. \]
对 $\sigma^2$ 求导：
\[ \frac{d\ell}{d\sigma^2} = -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2. \]
步骤 3：求解最大似然估计
令导数等于零，解得最大似然估计：
\[ -\frac{n}{2\sigma^2} + \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2 = 0, \]
\[ \frac{1}{2(\sigma^2)^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2 = \frac{n}{2\sigma^2}, \]
\[ \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2 = n\sigma^2, \]
\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu_0)^2. \]