题目
3、关于二维随机变量的协方差的性质，下列不正确的是（）(3分) bigcircA.当Cov(X,Y)=0时，X与Y不相关 bigcircB.对于任意常数a,b,有Cov(aX,bY)=Cov(X,Y) bigcircC.若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0 bigcircD.X,Y是两个随机变量,Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
3、关于二维随机变量的协方差的性质，下列不正确的是（）(3分) $\bigcirc$
A.当Cov(X,Y)=0时，X与Y不相关 $\bigcirc$
B.对于任意常数a,b,有Cov(aX,bY)=Cov(X,Y) $\bigcirc$
C.若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0 $\bigcirc$
D.X,Y是两个随机变量,Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
A.当Cov(X,Y)=0时，X与Y不相关 $\bigcirc$
B.对于任意常数a,b,有Cov(aX,bY)=Cov(X,Y) $\bigcirc$
C.若X与Y独立,则Cov(X,Y)=0 $\bigcirc$
D.X,Y是两个随机变量,Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
题目解答
答案
协方差的性质如下：
A. 当 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 时，$X$ 与 $Y$ 不相关，正确。
B. 对于任意常数 $a, b$，应有 $\text{Cov}(aX, bY) = ab \cdot \text{Cov}(X, Y)$，原选项错误。
C. 若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $\text{Cov}(X, Y) = 0$，正确。
D. 协方差具有对称性，即 $\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)$，正确。
答案：$\boxed{B}$
解析
协方差的性质是概率统计中的重要概念，本题重点考查对协方差基本性质的理解和辨析。
- 关键点：
- 协方差与相关性的关系：协方差为0仅说明无线性相关性，但可能存在非线性相关；
- 常数因子的影响：协方差对常数因子具有线性性质，即乘以常数会改变协方差的大小；
- 独立性与协方差：独立随机变量的协方差一定为0；
- 对称性：协方差是两个变量的对称函数。
- 破题关键：明确协方差的定义及性质，尤其注意常数因子对协方差的影响。
选项分析
选项A
当 $\text{Cov}(X, Y) = 0$ 时，$X$ 与 $Y$ 不相关
- 正确性：协方差为0是不相关的定义，因此正确。
选项B
对于任意常数 $a, b$，有 $\text{Cov}(aX, bY) = \text{Cov}(X, Y)$
- 推导：
根据协方差定义：
$\text{Cov}(aX, bY) = E[(aX - E[aX])(bY - E[bY])] = ab \cdot E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = ab \cdot \text{Cov}(X, Y)$
结论：原式漏掉了常数因子 $ab$，因此错误。
选项C
若 $X$ 与 $Y$ 独立，则 $\text{Cov}(X, Y) = 0$
- 正确性：独立随机变量的协方差恒为0，因此正确。
选项D
$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y, X)$
- 正确性：协方差的对称性由定义直接得出，因此正确。