题目
2.设随机变量X,Y相互独立，且都服从N(0,1),则D(X-Y)=__
2.设随机变量X,Y相互独立，且都服从N(0,1),则D(X-Y)=__
题目解答
答案
由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立且均服从 $N(0,1)$，其方差均为1。根据方差性质，对于线性组合 $aX + bY$，有：
\[
D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab \cdot \text{Cov}(X, Y)
\]
因 $X$、$Y$ 独立，$\text{Cov}(X, Y) = 0$，故：
\[
D(X - Y) = D(X) + (-1)^2D(Y) = 1 + 1 = 2
\]
答案：$\boxed{2}$
解析
步骤 1：确定随机变量的分布
随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布 $N(0,1)$，即均值为0，方差为1。
步骤 2：应用方差的性质
对于两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，其线性组合 $aX + bY$ 的方差为：\[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab \cdot \text{Cov}(X, Y) \] 其中，$\text{Cov}(X, Y)$ 表示 $X$ 和 $Y$ 的协方差。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$\text{Cov}(X, Y) = 0$。
步骤 3：计算 $D(X - Y)$
将 $a = 1$ 和 $b = -1$ 代入方差公式，得到：\[ D(X - Y) = D(X) + (-1)^2D(Y) = 1 + 1 = 2 \]
随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布 $N(0,1)$，即均值为0，方差为1。
步骤 2：应用方差的性质
对于两个独立的随机变量 $X$ 和 $Y$，其线性组合 $aX + bY$ 的方差为：\[ D(aX + bY) = a^2D(X) + b^2D(Y) + 2ab \cdot \text{Cov}(X, Y) \] 其中，$\text{Cov}(X, Y)$ 表示 $X$ 和 $Y$ 的协方差。由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立，$\text{Cov}(X, Y) = 0$。
步骤 3：计算 $D(X - Y)$
将 $a = 1$ 和 $b = -1$ 代入方差公式，得到：\[ D(X - Y) = D(X) + (-1)^2D(Y) = 1 + 1 = 2 \]