题目

8.设样本x_(1),x_(2),...,x_(n)来自Pareto分布，其密度函数为：p(x;α,θ)=θα^θx^-(θ+1)，x>α>0,θ>0寻求α与θ的MLE。

8.设样本$x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}$来自Pareto分布，其密度函数为： $p(x;α,θ)=θα^{θ}x^{-(θ+1)}，x>α>0,θ>0$ 寻求α与θ的MLE。

题目解答

答案

似然函数为： \[ L(x; \alpha, \theta) = \theta^n \alpha^{n\theta} \prod_{i=1}^n x_i^{-(\theta+1)}. \] 取对数得： \[ \ln L = n \ln \theta + n\theta \ln \alpha - (\theta+1) \sum_{i=1}^n \ln x_i. \] 对 $\theta$ 求导并设为0： \[ \frac{n}{\theta} + n \ln \alpha - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0 \implies \theta = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i - n \ln \alpha}. \] 对 $\alpha$ 求导： \[ \frac{\partial \ln L}{\partial \alpha} = \frac{n\theta}{\alpha} > 0, \] 似然函数随 $\alpha$ 增加而增加，但 $\alpha \leq x_{(1)}$（最小样本值），故 $\alpha$ 的MLE为： \[ \hat{\alpha} = x_{(1)}. \] 代入 $\theta$ 的方程得： \[ \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i - n \ln x_{(1)}}. \] **答案：** \[ \boxed{\hat{\alpha} = \min(x_1, x_2, \ldots, x_n), \quad \hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i - n \ln \hat{\alpha}}} \]

解析

考查要点：本题要求求Pareto分布参数α和θ的极大似然估计（MLE），主要考查对似然函数构造、对数似然函数求导以及参数约束条件的理解。

解题核心思路：

  1. 构造似然函数：将样本密度函数相乘，得到关于α和θ的表达式。
  2. 取对数简化计算：对似然函数取自然对数，转化为对数似然函数。
  3. 分别对参数求导：对θ和α分别求偏导，令导数为零，解方程得到估计值。
  4. 处理参数约束：注意α必须小于等于样本最小值x(1)，结合导数符号确定α的MLE。

破题关键点：

  • α的约束条件：α ≤ x(1)，否则密度函数在部分样本点上为零。
  • 导数符号分析：对α求导后发现导数恒正，说明α越大对数似然越大，因此α的MLE为x(1)。

1. 构造似然函数

样本来自Pareto分布，密度函数为：
$p(x; \alpha, \theta) = \theta \alpha^\theta x^{-(\theta+1)}, \quad x > \alpha > 0, \theta > 0.$
似然函数为各样本密度函数的乘积：
$L(x; \alpha, \theta) = \prod_{i=1}^n \theta \alpha^\theta x_i^{-(\theta+1)} = \theta^n \alpha^{n\theta} \prod_{i=1}^n x_i^{-(\theta+1)}.$

2. 取对数得对数似然函数

对似然函数取自然对数：
$\ln L = n \ln \theta + n\theta \ln \alpha - (\theta+1) \sum_{i=1}^n \ln x_i.$

3. 对θ求导并解方程

对θ求偏导并令导数为零：
$\frac{\partial \ln L}{\partial \theta} = \frac{n}{\theta} + n \ln \alpha - \sum_{i=1}^n \ln x_i = 0.$
解得：
$\hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i - n \ln \alpha}.$

4. 对α求导并确定约束条件

对α求偏导：
$\frac{\partial \ln L}{\partial \alpha} = \frac{n\theta}{\alpha} > 0.$
由于导数恒正，对数似然随α增大而增大，但α必须满足α ≤ x(1)（样本最小值），因此α的MLE为：
$\hat{\alpha} = x_{(1)}.$

5. 代入θ的表达式

将$\hat{\alpha} = x_{(1)}$代入θ的解中：
$\hat{\theta} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln x_i - n \ln x_{(1)}}.$